Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện: $x>0$.

Ta có $\left(2^{x^2}-16\right)({\log }_{3}x-4)\le 0\iff \left[\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{2}^{x^2}-16\ge 0\\ {\log }_{3}x-4\le 0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{2}^{x^2}-16\le 0\\ {\log }_{3}x-4\ge 0\end{array}\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ 0<x\le 81\end{array}\\ \{\begin{array}{l}0<x\le 2\\ x\ge 81\end{array}\end{array}\right]\iff 2\le x\le 81$.

Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên có $81-2+1=80$ giá trị nguyên thỏa mãn.

ĐK: $x>0$, đặt $t={\log }_{4}x$ thì $x=4^t$ và $\sqrt{x}=2^t$.
BPT: $\sqrt{3}\cdot 3^t+\frac{1}{\sqrt{3}}{3}^t\ge 2^t\iff 4\cdot 3^t\ge \sqrt{3}\cdot 2^t\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^t\ge \frac{\sqrt{3}}{4}\iff t\ge {\log }_{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $x\ge 4^{{\log }_{3/2}(\sqrt{3}/4)}$ (mà ${\log }_{3/2}\frac{\sqrt{3}}{4}<0$ nên $4^{{\log }_{3/2}(\sqrt{3}/4)}<1$), do đó mọi số tự nhiên $x\in [1;2023]$ đều thỏa mãn, tức là có $2023$ số tự nhiên thỏa mãn.

Điều kiện: $x+25>0\iff x>-25$. Cho từng thừa số bằng 0: $3^{x^2}-9^x=0\iff x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Thừa số thứ hai: ${\log }_3(x+25)-3=0\iff x+25=27\iff x=2$. Như vậy $x=2$ là nghiệm bội hai. Lập bảng xét dấu ta được tập nghiệm là $(-25;0]\cup \{2\}$. Số các số nguyên thỏa mãn là $-24,-23,\dots ,0$ (có 25 số) cộng thêm số nguyên $2$, tổng cộng có 26 số nguyên. Chọn C.

**Chọn A**
Điều kiện: 0 < x  1
4
Ta có: log 3 x + 2 log x 9 - 5 ≤ 0  log 3 x + 4 log x 3 - 5 ≤ 0  log 3 x + -5 ≤ 0
log 3 x
4 t 2 - 5t + 4
Đặt: t = log 3 x , khi đó bất phương trình trở thành: t + - 5 ≤ 0  ≤0
t t
[t = 4
t 2 - 5t + 4 = 0 
]t = 1
t =0
Bảng xét dấu vế trái:

Từ bảng xét dấu ta có: t ≤ 0 hoặc 1 ≤ t ≤ 4
Với t ≤ 0  log 3 x ≤ 0  x ≤ 1
Với 1 ≤ t ≤ 4  1 ≤ log 3 x ≤ 4  3 ≤ x ≤ 81
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
S = ( 0;1)  3;81 
x∈'
 x ∈ 3; 4;5;...;81
Vậy có 79 số nguyên x thỏa mãn.

Đặt $t=2^x>0$. Bất phương trình trở thành $t^2-(m+1)t+m\le 0\iff (t-1)(t-m)\le 0$. Để bất phương trình có tập nghiệm là đoạn thì $m>1$, khi đó $1\le 2^x\le m\iff 0\le x\le {\log }_{2}m$. Độ dài đoạn nghiệm là ${\log }_{2}m$. Yêu cầu bài toán ${\log }_{2}m>2\iff m>4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-20;20]$ nên $m\in \{5,6,\dots ,20\}$, có $20-5+1=16$ giá trị nguyên. Chọn D.

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ 14-2x>0\end{array}\iff 1<x<7$.

Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương:
$-{\log }_4(x-1)+{\log }_4(14-2x)\ge 0\iff {\log }_4(14-2x)\ge {\log }_4(x-1)$
$\iff 14-2x\ge x-1\iff 3x\le 15\iff x\le 5$.

Kết hợp với điều kiện $1<x<7$, ta được $1<x\le 5$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{2;3;4;5\}$.
Vậy bất phương trình có $4$ nghiệm nguyên.

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}9x>0\\ 2\ln 30-\ln (9x)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \ln (9x)\le \ln 900\end{array}\iff 0<x\le 100$.

Trường hợp 1: Nếu $2\ln 30-\ln (9x)=0\iff x=100$, bất phương trình nghiệm đúng với mọi thừa số còn lại. Do đó $x=100$ là một nghiệm.

Trường hợp 2: Với $x\in (0;100)$, ta có $\sqrt{2\ln 30-\ln (9x)}>0$, bất phương trình trở thành:
$9^x-10\cdot 3^{x+2}+729\ge 0\iff (3^x{)}^2-90\cdot 3^x+729\ge 0$.
Tam thức bậc hai theo $3^x$ có hai nghiệm là $9$ và $81$, suy ra:
$[\begin{array}{rl}& 3^x\le 9\\ & 3^x\ge 81\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x\le 2\\ & x\ge 4\end{array}$.
Kết hợp với $0<x<100$, ta được $x\in (0;2]\cup [4;100)$.

Tổng hợp cả hai trường hợp, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;2]\cup [4;100]$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{1;2\}\cup \{4;5;\dots ;100\}$.
Số lượng số nguyên $x$ thỏa mãn là: $2+(100-4+1)=2+97=99$.

**Chọn C**
log 2 ( x 2 − x − 2 ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + 1
x > 1
x −1 > 0 
Điều kiện:  2 ⇔   x < −1 ⇔ x > 2
x − x − 2 > 0  x > 2

( ) ( )
Ta có: log 2 x 2 − x − 2 ≥ log 0,5 ( x − 1) + 1 ⇔ log 2 x 2 − x − 2 ≥ − log 2 ( x − 1) + 1

⇔ log 2 ( x 2 − x − 2 ) ( x − 1) ≥ 1 ⇔ ( x 2 − x − 2 ) ( x − 1) ≥ 2 ⇔ x3 − 2 x 2 − x ≥ 0

⇔ x ∈ 1 − 2;0  ∪ 1 + 2; +∞ )
So với điều kiện ⇒ x ∈ 1 + 2; +∞ )
Vậy có 2021 nghiệm nguyên x thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Điều kiện: $x+14>0\iff x>-14$.
Xét ${\log }_{2023}(x^2+2)-{\log }_{2023}(x+14)=0\iff x^2-x-12=0\iff x=-3$ hoặc $x=4$.
Xét $729-3^{x-1}=0\iff 3^{x-1}=3^6\iff x=7$.
Lập trục xét dấu vế trái trên khoảng $(-14;+\infty )$:
Bất phương trình nghiệm đúng khi $x\in (-14;-3]\cup [4;7]$.
Các số nguyên thỏa mãn là:
$x\in \{-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3\}$ (11 giá trị) và $x\in \{4,5,6,7\}$ (4 giá trị).
Tổng cộng có $11+4=15$ số nguyên.

Điều kiện: $x>1$.
Ta có ${\log }_2(x-1)<{\log }_5[5(x-1)]\iff {\log }_2(x-1)<1+{\log }_5(x-1)\iff {\log }_2(x-1)<1+{\log }_{5}2\cdot {\log }_2(x-1)$
$\iff (1-{\log }_{5}2){\log }_2(x-1)<1\iff {\log }_2(x-1)<\frac{1}{1-{\log }_{5}2}\iff 1<x<2^{\frac{1}{1-{\log }_{5}2}}+1$.
Vậy $a=1,b=2^{\frac{1}{1-{\log }_{5}2}}+1\Rightarrow b-a=2^{\frac{1}{1-{\log }_{5}2}}\approx 3,37$.

Chọn D.

Đặt $t=x^2-x+4=(x-1/2{)}^2+15/4>0$.
Bất phương trình trở thành:
${\log }_{3}t-3+2{\log }_5(t+1)\le 0\iff {\log }_3(t+1-1)\dots$
Hay đặt $u=x^2-x+4$. Nhận thấy với $t=2$, ${\log }_3(2+1)+2{\log }_5(2^2+1)-3=1+2-3=0$.
Hàm số $g(t)={\log }_3(t+1)+2{\log }_5(t^2+1)-3$ đồng biến với mọi $t>0$.
Do đó nghiệm thỏa mãn $t\le 2\iff x^2-x+4\le 2$ hoặc qua biến đổi hàm số chuẩn ta có $x^2-x\le 0\iff 0\le x\le 1$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{0,1\}$. Có đúng 2 số nguyên.

Chọn C
Đặt t = 6 a , do a  0 $\Rightarrow$ t  0.
Bất phương trình trở thành: log 6 ( t 3 + t 2 )  log 3 t 2 $\iff$ log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2  0.

Xét hàm số: f ( t ) = log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2 , t  0.

3t 2 + 2t 2t
Khi đó, f ' ( t ) = 3 2 - 2  0, t  0.
( t + t ) ln 6 t ln 3
Suy ra hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0
Suy ra t = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình f ( t ) = 0.
Yêu cầu bài toán
f ( t )  0 $\iff$ f ( t )  f ( 3) $\iff$ 0  t  3 (do hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0 ).
Suy ra 6 a  3 $\iff$ a  36 . Vì a nguyên dương nên có 36 - 1 số nguyên dương a thỏa yêu cầu bài
toán.

Bất phương trình tương đương với ${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\ge 1\iff 0<\frac{3x-7}{x+3}\le \frac{1}{3}$. Từ $\frac{3x-7}{x+3}>0$ và $\frac{3x-7}{x+3}-\frac{1}{3}=\frac{8x-24}{3(x+3)}\le 0$ ta suy ra $\frac{7}{3}<x\le 3$. Vậy $(a;b]=\left(\frac{7}{3};3\right]\Rightarrow P=3a-b=3\cdot \frac{7}{3}-3=4$. Chọn C.

Điều kiện $-1<x<86$. Bất phương trình tương đương ${\log }_2(x+1)-{\log }_2(86-x)\ge 1\iff \frac{x+1}{86-x}\ge 2\iff x+1\ge 2(86-x)\iff x\ge 57$. Kết hợp điều kiện ta được $57\le x<86$, có $29$ số nguyên $x$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}4x-3>0\\ (2x+3{)}^2>0\end{array}\iff x>\frac{3}{4}$. Khi đó: $2{\log }_3(4x-3)+{\log }_{\frac{1}{9}}(2x+3{)}^2\le 2\iff {\log }_3(4x-3{)}^2-{\log }_3(2x+3)\le 2\iff {\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 2\iff \frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 9\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff -\frac{3}{8}\le x\le 3$. Kết hợp điều kiện $x>\frac{3}{4}$, tập nghiệm là $\left(\frac{3}{4};3\right]$. Chọn B.

Bất phương trình $\log (2x^2+3)>\log (x^2+mx+1)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ tương đương:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+mx+1>0,\forall x\in \mathbb{R}\\ 2x^2+3>x^2+mx+1,\forall x\in \mathbb{R}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+mx+1>0,\forall x\in \mathbb{R}\\ x^2-mx+2>0,\forall x\in \mathbb{R}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-4<0\\ m^2-8<0\end{array}\iff -2<m<2.$
Vậy $-2<m<2$. Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 8): Chọn B. Bất phương trình tương đương $\{\begin{array}{l}x>1\\ x^3+x+m>x-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>1\\ m>-x^3-1\end{array}$. Vì ${\lim }_{x\to +\infty }(-x^3-1)=-\infty$ nên với mọi $m\in \mathbb{R}$ luôn tồn tại $x>1$ thỏa mãn $m>-x^3-1$.

Vì cơ số $0,8\in (0;1)$ nên bất phương trình tương đương: $\{\begin{array}{l}15x+2>0\\ 15x+2<13x+8\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x>-\frac{2}{15}\\ 2x<6\end{array}⟺-\frac{2}{15}<x<3$. Các nghiệm nguyên thỏa mãn là $x\in \{0,1,2\}$. Vậy có 3 nghiệm nguyên.

Với $x\in [2024;7000]$, ta có ${\log }_{3}x+4>0$. Khi đó bất phương trình tương đương với:
${\log }_6\left(\frac{{\log }_3^{2}x-9{\log }_{3}x+80}{{\log }_{3}x+4}\right)>1\iff \frac{{\log }_3^{2}x-9{\log }_{3}x+80}{{\log }_{3}x+4}>6$
$\iff {\log }_3^{2}x-15{\log }_{3}x+56>0\iff ({\log }_{3}x-7)({\log }_{3}x-8)>0\iff [<table><tbody><tr><td>{\log }_{3}x>8</td></tr><tr><td>{\log }_{3}x<7</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x>3^8=6561</td></tr><tr><td>0<x<3^7=2187</td></tr></tbody></table>$.
Kết hợp với $x\in [2024;7000]$ và $x\in \mathbb{Z}$, ta được $x\in \{2024;2025;\dots ;2186\}\cup \{6562;6563;\dots ;7000\}$.
Số nghiệm nguyên là $(2186-2024+1)+(7000-6562+1)=163+439=602$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 34, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 44 (A), Mã đề 103 Câu 44 (B), Mã đề 104 Câu 40 (A); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)