Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=6!=720$. Ở mỗi cặp ghế đối diện nhau (có $3$ cặp), có $2$ cách chọn ghế cho nam và ghế cho nữ; sau đó có $3!$ cách xếp $3$ nam và $3!$ cách xếp $3$ nữ. Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{2^3\cdot 3!\cdot 3!}{6!}=\frac{288}{720}=\frac{2}{5}$.

Có $9000$ số tự nhiên có $4$ chữ số (từ $1000$ đến $9999$). Để $N\in \mathbb{N}$ và $1000\le 3^N\le 9999$ thì $N\in \{7;8\}$ (vì $3^7=2187,3^8=6561$). Vậy xác suất cần tìm là $\frac{2}{9000}=\frac{1}{4500}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.
Ba số lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi hai số đầu và cuối cùng tính chẵn lẻ. Vì trong $S$ có $10$ số chẵn và $10$ số lẻ nên số bộ ba lập thành cấp số cộng là $n(A)=C_{10}^2+C_{10}^2=90$.
Vậy xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{90}{1140}=\frac{3}{38}\approx 0,08$.

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega )=8!$.
Gọi $A$ là biến cố: "trong 3 bạn nữ không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau".
Xếp 5 bạn nam vào hàng có $5!$ cách, tạo ra 6 vị trí trống để xếp các bạn nữ.
Chọn 3 trong 6 vị trí và xếp 3 bạn nữ vào có $A_6^3$ cách.
Số kết quả thuận lợi là $n(A)=5!\cdot A_6^3$.
Xác suất lý thuyết là $P(A)=\frac{5!\cdot A_6^3}{8!}=\frac{5}{14}$. Trong hướng dẫn giải và bảng đáp án của trường ghi nhận Chọn C.

Xét theo vị trí các viên bi phân biệt: số phần tử không gian mẫu là $6!$. Để viên bi trắng chỉ xếp cạnh viên bi vàng: TH1: Bi trắng ở một trong 2 ngăn đầu/cuối (2 vị trí), ngăn kế bên phải là bi vàng ($2$ cách), 4 viên còn lại xếp vào 4 ngăn ($4!$ cách) $\Rightarrow 2\cdot 2\cdot 4!=96$ cách. TH2: Bi trắng ở một trong 4 ngăn giữa (4 vị trí), hai ngăn hai bên phải là 2 viên bi vàng ($2!$ cách), 3 viên bi đỏ xếp vào 3 ngăn còn lại ($3!$ cách) $\Rightarrow 4\cdot 2!\cdot 3!=48$ cách. Xác suất cần tìm là $P=\frac{96+48}{6!}=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}$.

Chọn A.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{40}^3=9880$.
- Số học sinh chỉ giỏi môn Toán là: $18-8-13+6=3$.
- Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là: $17-8-10+6=5$.
- Số học sinh chỉ giỏi môn Anh là: $20-10-13+6=3$.
Tổng số học sinh chỉ giỏi đúng một môn trong $3$ môn Toán, Văn, Anh là $3+5+3=11$ học sinh.
Xác suất cần tính là $P=\frac{C_{11}^3}{C_{40}^3}=\frac{165}{9880}=\frac{33}{1976}$.

a) Đúng: $n(\Omega )=9!$.
b) Sai: Xếp nam và nữ xen kẽ (Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam) có $5!\cdot 4!$ cách, nên xác suất bằng $\frac{5!\cdot 4!}{9!}=\frac{1}{126}$.
c) Sai: Nhóm $5$ nam thành một khối và $4$ nữ thành một khối có $2!\cdot 5!\cdot 4!$ cách, nên xác suất bằng $\frac{2!\cdot 5!\cdot 4!}{9!}=\frac{1}{63}$.
d) Đúng: Xếp $5$ nam trước có $5!$ cách, tạo ra $6$ khoảng trống (kể cả hai đầu). Xếp $4$ nữ vào $6$ khoảng trống có $A_6^4$ cách. Xác suất bằng $\frac{5!\cdot A_6^4}{9!}=\frac{5}{42}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.
Gọi $A$ là biến cố: "Trong ba số được chọn có ít nhất một số chẵn".
Khi đó biến cố đối $\overline{A}$: "Trong ba số được chọn không có số chẵn nào" (tức là cả ba số đều là số lẻ).
Số phần tử của $\overline{A}$ là: $n(\overline{A})=C_{10}^3=120$.
Xác suất của biến cố $A$ là:
$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{120}{1140}=1-\frac{2}{19}=\frac{17}{19}.$
Do đó $a=17,b=19$ (đều là số nguyên tố). Vậy $a+b=17+19=36$.

Từ "ASSISTANT" có 9 chữ cái gồm: 1 chữ A, 3 chữ S, 2 chữ I, 2 chữ T, 1 chữ N.
Từ "STATISTICS" có 10 chữ cái gồm: 1 chữ A, 3 chữ S, 2 chữ I, 3 chữ T, 1 chữ C.
Các chữ cái chung của hai từ là: A, S, I, T.
Xác suất để lấy ra cùng một chữ cái là:
- Chọn cùng chữ A: $\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{90}$.
- Chọn cùng chữ S: $\frac{3}{9}\cdot \frac{3}{10}=\frac{9}{90}$.
- Chọn cùng chữ I: $\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{10}=\frac{4}{90}$.
- Chọn cùng chữ T: $\frac{2}{9}\cdot \frac{3}{10}=\frac{6}{90}$.
Tổng xác suất là $P=\frac{1+9+4+6}{90}=\frac{19}{90}$.

Chọn đáp án C.

Không gian mẫu là số cách chọn bộ hai chữ số $X,Y$ từ tập $\{0,1,\dots ,9\}$:
$n(\Omega )=10\times 10=100$.
Để biển số có dạng $356XY$ là “số tiến”, các chữ số kể từ chữ số thứ hai phải không nhỏ hơn chữ số liền trước nó, nghĩa là $3\le 5\le 6\le X\le Y$.
Do đó ta cần $6\le X\le Y\le 9$.
Các cặp $(X,Y)$ thỏa mãn điều kiện $6\le X\le Y\le 9$ gồm:
- Với $X=6$: $Y\in \{6,7,8,9\}$ (4 cách).
- Với $X=7$: $Y\in \{7,8,9\}$ (3 cách).
- Với $X=8$: $Y\in \{8,9\}$ (2 cách).
- Với $X=9$: $Y\in \{9\}$ (1 cách).
Số kết quả thuận lợi là $n(A)=4+3+2+1=10$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$.

Trong 30 tấm thẻ:
- Có 15 thẻ lẻ.
- Có 3 thẻ chia hết cho 10 và 12 thẻ chẵn không chia hết cho 10.
Số cách chọn:
- Chọn 5 thẻ lẻ từ 15 thẻ lẻ: $C_{15}^5$ cách.
- Chọn 1 thẻ chia hết cho 10: $C_3^1$ cách.
- Chọn 4 thẻ chẵn không chia hết cho 10: $C_{12}^4$ cách.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{30}^{10}$.
Xác suất cần tìm là: $P=\frac{C_{15}^5\cdot C_3^1\cdot C_{12}^4}{C_{30}^{10}}=\frac{99}{667}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=7!$. Ghép $2$ học sinh nữ thành một nhóm, số cách xếp để hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau là $2!\cdot 6!$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{2!\cdot 6!}{7!}=\frac{2}{7}$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.

Trong 20 tấm thẻ có 10 thẻ mang số chẵn và 10 thẻ mang số lẻ.

Để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ là số chia hết cho 2 (tức là tổng chẵn), ta có 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Chọn được 3 thẻ đều mang số chẵn: có $C_{10}^3=120$ cách.
- Trường hợp 2: Chọn được 1 thẻ mang số chẵn và 2 thẻ mang số lẻ: có $C_{10}^1\cdot C_{10}^2=10\cdot 45=450$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố là: $n(A)=120+450=570$.

Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{570}{1140}=\frac{1}{2}$.

Đa giác đều có $32$ đỉnh. Số phần tử của không gian mẫu là số tứ giác tạo thành:
$n(S)=C_{32}^4=35960$.
Đa giác đều $32$ đỉnh có $32/2=16$ đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Mỗi cặp gồm hai đường kính xác định duy nhất một hình chữ nhật có $4$ đỉnh là đỉnh của đa giác.
Số hình chữ nhật tạo thành là $C_{16}^2=120$.
Xác suất cần tìm là:
$P=\frac{120}{35960}=\frac{3}{899}$.
Chọn đáp án B.

Xét số dư của số chính phương khi chia cho 5: $n^2\equiv 0,1,4(\mathrm{mod}5)$. Số các số trong $S=\{1;2;\dots ;26\}$ theo số dư của bình phương modulo 5: Các số chia hết cho 5 có bình phương chia hết cho 5: $\{5,10,15,20,25\}$ (5 số); các số có bình phương chia 5 dư 1: tận cùng 1, 4, 6, 9 gồm 11 số; các số có bình phương chia 5 dư 4: tận cùng 2, 3, 7, 8 gồm 10 số. Để $a^2+b^2+c^2⋮5$, các trường hợp số dư là $(0,0,0)$ hoặc $(0,1,4)$. Tính tổng số cách chọn và chia cho $C_{26}^3=2600$, ta thu được xác suất $P=\frac{14}{65}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Chọn B.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số là $9\cdot 10^5=900000$, do đó $n(\Omega )=900000$.
Gọi biến cố $A$: “các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và chữ số 2”.
Gọi số có 6 chữ số có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$:
- Vị trí của chữ số 0 có 5 cách chọn (do $a_1\ne 0$).
- Vị trí của chữ số 2 có 5 cách chọn (trong 5 vị trí còn lại).
- 4 vị trí còn lại chọn từ 8 chữ số còn lại trong $\{0;1;\dots ;9\}\setminus \{0;2\}$ có $A_8^4=1680$ cách.
Suy ra $n(A)=5\cdot 5\cdot A_8^4=25\cdot 1680=42000$.
Vậy xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{42000}{900000}=\frac{7}{150}.$

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{12}^4=495$. Số cách chọn $4$ quả cầu có đủ $3$ màu (gồm $2$ quả cùng màu và $2$ quả thuộc hai màu còn lại) là $C_4^2{C}_3^1{C}_5^1+C_4^1{C}_3^2{C}_5^1+C_4^1{C}_3^1{C}_5^2=90+60+120=270$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{270}{495}=\frac{6}{11}$.

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^6=5005$. Gọi $A$ là biến cố 'có ít nhất 1 viên bi vàng và không quá 4 viên bi đỏ'. Biến cố đối $\bar{A}$ gồm hai trường hợp rời nhau:
1) Không có viên bi vàng nào: chọn 6 viên từ 13 viên (8 xanh + 5 đỏ) có $C_{13}^6=1716$ cách.
2) Có viên bi vàng nhưng có 5 viên bi đỏ (do tối đa có 5 bi đỏ): chọn 5 đỏ (1 cách) và 1 bi vàng ($C_2^1=2$ cách), có $1\times 2=2$ cách.
Suy ra $n(\bar{A})=1716+2=1718$. Do đó $n(A)=5005-1718=3287$. Xác suất là $P(A)=\frac{3287}{5005}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ $\{0,1,2,3,4,5\}$ là $n(A)=5\times 5!=600$.
Gọi biến cố $E$: 'chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau'. Buộc chữ số 3 và 4 thành một khối $X$: có $2!$ cách xếp thứ tự trong khối.
- Nếu khối $X$ không chứa số 0, tập gồm các phần tử $\{X,0,1,2,5\}$ (5 phần tử).
Số cách xếp là $4\times 4!\times 2!=192$.
- Xác suất: $P=\frac{192}{600}=\frac{8}{25}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

a) Đúng: Tổng số viên bi là $4+6+7=17$, lấy $5$ viên nên $n(\Omega )=C_{17}^5=6188$.
b) Sai: $P=1-\frac{C_{11}^5}{C_{17}^5}=\frac{2045}{2210}\approx 0,925<0,93$.
c) Sai: $P=\frac{C_6^5}{C_{17}^5}=\frac{6}{6188}=\frac{3}{3094}\ne \frac{3}{884}$.
d) Đúng: Ba số $z-x,x-y,y-z$ lập thành cấp số cộng $\iff (z-x)+(y-z)=2(x-y)\iff x=y$. Do $x+y+z=5$ và $x,y,z\ge 1$ nên $(x;y;z)\in \{(1;1;3);(2;2;1)\}$. Xác suất là $\frac{C_4^1{C}_6^1{C}_7^3+C_4^2{C}_6^2{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{840+630}{6188}=\frac{105}{442}$.
Đáp án (Phần II Câu 2, trang 7): Đ, S, S, Đ.