Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Gọi số bi đỏ, xanh, trắng lần lượt là $x,y,z\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Hiệu $y-x$, $z-y$, $x-z$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $(y-x)+(x-z)=2(z-y)⟺y-z=2z-2y⟺3y=3z⟺y=z$. Với $x+2y=6$ và $x,y\ge 1$, ta có các trường hợp $(x;y;z)=(4;1;1)$ hoặc $(2;2;2)$. Tính xác suất ta được $P=\frac{40}{221}$.

Chọn B.
Tổng số cách chọn 5 điểm từ 15 điểm là $C_{15}^5=3003$.
Đếm số bộ 5 điểm đồng phẳng thuộc các mặt phẳng trung trực, mặt phẳng chứa các cạnh và trung điểm, xác suất thu được là $\frac{75}{1001}$.

Chọn C.
Số cách xếp để giữa hai bạn nữ liên tiếp có đúng hai bạn nam là $5!\times 8!$. Xác suất để bạn A không ngồi cạnh bạn B trong cách sắp xếp này là $1-\left(\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{8}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{8}\right)=\frac{4}{5}$.
Xác suất cần tìm là:
$$P=\frac{5!\times 8!\times \frac{4}{5}}{13!}=\frac{4}{6435}.$$

Không gian mẫu có $n(\Omega )=13!$. Sơ đồ vị trí thỏa mãn giữa $2$ bạn nữ gần nhau có đúng $2$ bạn nam là $\text{Nữ - Nam - Nam - Nữ - Nam - Nam - Nữ - Nam - Nam - Nữ - Nam - Nam - Nữ}$, có $8!\cdot 5!$ cách xếp. Trong đó số cách mà $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau là $8\cdot 7!\cdot 4!$. Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{8!\cdot 5!-8\cdot 7!\cdot 4!}{13!}=\frac{4}{6435}$.

Tổng số lượt chọn của $3$ thí sinh là $3\times 4=12$. Để có đúng $9$ câu hỏi khác nhau và có ít nhất $1$ câu cả $3$ thí sinh cùng chọn, phải có đúng $1$ câu xuất hiện $3$ lần, $1$ câu xuất hiện $2$ lần và $7$ câu xuất hiện $1$ lần.
Số cách thuận lợi là $n(E)=12\cdot 11\cdot C_3^2\cdot C_{10}^2\cdot C_8^2\cdot C_6^3=\mathrm{9.979.200}$, không gian mẫu $n(\Omega )=(C_{12}^4{)}^3=\mathrm{121.287.375}$.
Xác suất là $P(E)=\frac{\mathrm{9.979.200}}{\mathrm{121.287.375}}=\frac{448}{5445}\Rightarrow S=a+b=448+5445=5893$.

Trường hợp 1: Hoa chọn được bi số $9$. Xác suất là $\frac{C_8^2}{C_9^3}=\frac{1}{3}$, khi đó số của Hoa chắc chắn lớn hơn số của Bình.
Trường hợp 2: Hoa không chọn được bi số $9$, xác suất là $\frac{C_8^3}{C_9^3}=\frac{2}{3}$. Khi đó cả hai cùng chọn ngẫu nhiên $3$ số từ $\{1,2,\dots ,8\}$, xác suất hai bạn chọn trùng bộ $3$ số là $\frac{1}{C_8^3}=\frac{1}{56}$, nên xác suất số của Hoa lớn hơn số của Bình trong trường hợp này là $\frac{1-\frac{1}{56}}{2}=\frac{55}{112}$.
Vậy xác suất Hoa thắng cuộc là $P=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{55}{112}=\frac{37}{56}\Rightarrow a=37,b=56\Rightarrow T=a+2b=37+112=149$.

Gọi $n$ là số viên bi đỏ trong hộp ($n\ge 2$). Xác suất để trong $2$ lần đầu có ít nhất $1$ viên đỏ và lần $3$ An lấy được viên đỏ là:
$P=\frac{n(n-1)(n-2)+2\cdot 6n(n-1)}{(n+6)(n+5)(n+4)}=\frac{n(n-1)(n+10)}{(n+6)(n+5)(n+4)}=\frac{6}{13}\iff 7n^3+27n^2-574n-720=0\iff n=8$.

Chọn B.
Số phần tử của không gian mẫu: số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau lập từ 10 chữ số là $n(\Omega )=9\cdot A_9^7=1632960$.
Xét điều kiện: số có 8 chữ số gồm 4 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn.
Tập chữ số lẻ: $\{1,3,5,7,9\}$ có tổng là 25.
Tập chữ số chẵn: $\{0,2,4,6,8\}$ có tổng là 20.
Để tổng 4 chữ số lẻ bằng tổng 4 chữ số chẵn, ta chọn 4 chữ số lẻ (bỏ đi 1 chữ số lẻ $a$) và chọn 4 chữ số chẵn (bỏ đi 1 chữ số chẵn $b$).
Tổng 4 chữ số lẻ là $25-a$, tổng 4 chữ số chẵn là $20-b$.
Do đó $25-a=20-b\iff a-b=5$.
Vì $a\in \{1,3,5,7,9\}$ và $b\in \{0,2,4,6,8\}$, ta có các cặp $(a,b)$:
- $(a,b)=(5,0)\Rightarrow$ chữ số chẵn gồm $\{2,4,6,8\}$ (không có chữ số 0). Chữ số lẻ: $\{1,3,7,9\}$. Số các số tạo thành là $8!=40320$.
- $(a,b)=(7,2)\Rightarrow$ tập chẵn gồm $\{0,4,6,8\}$ (có 0). Chữ số lẻ: $\{1,3,5,9\}$. Số các số tạo thành là $7\cdot 7!=35280$.
- $(a,b)=(9,4)\Rightarrow$ tập chẵn gồm $\{0,2,6,8\}$ (có 0). Chữ số lẻ: $\{1,3,5,7\}$. Số các số tạo thành là $7\cdot 7!=35280$.
Tổng số thỏa mãn là $40320+35280+35280=110880$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{110880}{1632960}=\frac{11}{162}$.

Số quân cờ trên $6$ hàng và $6$ cột đều có phân hoạch $(2,2,1,1,1,1)$. Để mỗi quân cờ cùng hàng với đúng $1$ quân cờ khác hoặc cùng cột với đúng $1$ quân cờ khác, $4$ quân cờ ở $4$ hàng đơn phải thuộc $2$ cột đôi và $4$ quân cờ ở $2$ hàng đôi phải thuộc $4$ cột đơn. Số tập hợp $8$ ô thỏa mãn là $C_6^2\cdot C_6^2\cdot C_4^2\cdot C_4^2=15\cdot 15\cdot 6\cdot 6=8100$. Do đó $P=\frac{8100}{C_{36}^8}=\frac{8100}{30260340}$ và $9^{4}P=6561\cdot \frac{8100}{30260340}\approx 1,76$.

Không gian mẫu: chọn 7 câu hỏi tùy ý từ 40 câu hỏi có $n(\Omega )=C_{40}^7=18643560$. Gọi $A$ là biến cố đề thi có đủ 3 loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 4. Vì cần đủ cả khó và trung bình (ít nhất 2 câu), số câu dễ chỉ có thể là 4 hoặc 5: TH1: Có đúng 4 câu dễ và 3 câu còn lại gồm cả khó và trung bình: $C_{20}^4\times (C_{20}^3-C_5^3-C_{15}^3)=4845\times (1140-10-455)=4845\times 675=3270375$. TH2: Có đúng 5 câu dễ và 2 câu còn lại gồm cả khó và trung bình: $C_{20}^5\times (C_5^1\times C_{15}^1)=15504\times 75=1162800$. Số kết quả thuận lợi: $n(A)=3270375+1162800=4433175$. Xác suất: $P(A)=\frac{4433175}{18643560}=\frac{915}{3848}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn D.

Đa giác đều $12$ đỉnh có đúng $3$ hình vuông nội tiếp rời nhau về tập đỉnh (mỗi hình vuông gồm $4$ đỉnh). Để mỗi hình vuông đều có ít nhất $1$ bóng đèn màu đỏ trong $4$ bóng đỏ, số bóng đỏ trên $3$ hình vuông phải là hoán vị của $(2,1,1)$. Xác suất cần tìm theo vị trí của $4$ bóng đỏ là $P=\frac{C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_4^1\cdot C_4^1}{C_{12}^4}=\frac{3\cdot 6\cdot 4\cdot 4}{495}=\frac{32}{55}$. Vậy $3190P=3190\cdot \frac{32}{55}=1856$.

Chọn C.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcdef}$ với $a\ne 0;a,b,c,d,e,f\in A$.
Không gian mẫu: $n(\Omega )=9\times 10^5$.
Biến cố $A$: 'Số tự nhiên có tích các chữ số bằng 1400'.
Ta phân tích $1400=2^3\times 5^2\times 7$. Các bộ 6 chữ số có tích bằng 1400 là:
- Trường hợp 1: $\{7,5,5,2,2,2\}$ có $\frac{6!}{1!2!3!}=60$ số.
- Trường hợp 2: $\{7,5,5,4,2,1\}$ có $\frac{6!}{1!2!1!1!1!}=360$ số.
- Trường hợp 3: $\{7,5,5,8,1,1\}$ có $\frac{6!}{1!2!1!2!}=180$ số.
Tổng số kết quả thuận lợi: $n(A)=60+360+180=600$.
Xác suất: $P(A)=\frac{600}{900000}=\frac{1}{1500}$.
Do đó $a=1,b=1500⟹a+b=1501$.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=2^8=256$. Số cách để trên vòng tròn $8$ vị trí không có hai vị trí đứng kề nhau bằng $L_8=47$ (cụ thể: $0$ người đứng có $1$ cách; $1$ người đứng có $8$ cách; $2$ người đứng có $C_8^2-8=20$ cách; $3$ người đứng có $C_8^3-8-8\cdot 4=16$ cách; $4$ người đứng có $2$ cách). Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{47}{256}\approx 0,18$.

Không gian mẫu có $n(\Omega )=A_{21}^7=586051200$. Vì $O$ kề với cả $6$ đỉnh của lục giác và các đỉnh kề nhau khác màu nên $O$ có một màu (3 cách chọn), nhóm $(A,C,E)$ cùng màu thứ hai (2 cách chọn) và nhóm $(B,D,F)$ cùng màu thứ ba (1 cách). Chọn số cho $O$ có $7$ cách. Trong $6$ số còn lại, chọn bộ $3$ số phân biệt cho $(A,C,E)$ có $A_6^3=120$ cách. Theo nguyên lý bù trừ, số cách chọn bộ $3$ số phân biệt cho $(D,B,F)$ từ $6$ số đó sao cho $d\ne a,b\ne e,f\ne c$ là $120-3\cdot 20+3\cdot 4-1=71$ cách. Vậy $P=\frac{6\cdot 7\cdot 120\cdot 71}{A_{21}^7}=\frac{71}{116280}$, suy ra $m=71,n=116280$ và $n-22m^2=116280-22\cdot 71^2=5378$.

**Chọn D**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - Mã đề 132).
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{18}^2=153$.
Số cặp điểm nối với nhau tạo thành một cạnh của các ô vuông trên bàn cờ là 63.
Do đó số cặp điểm thỏa mãn là $153-63=90$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{90}{153}=\frac{10}{17}$.

Tổng số học sinh là $5+4+3=12$. Số phần tử không gian mẫu chia 12 học sinh về 4 thôn (mỗi thôn 3 em) là $n(\Omega )=C_{12}^3\cdot C_9^3\cdot C_6^3\cdot C_3^3$. Để thôn nào cũng có học sinh khối 12 và khối 11: mỗi thôn được xếp 1 học sinh khối 11 (có $4!$ cách); chọn 4 học sinh khối 12 xếp vào 4 thôn (có $A_5^4$ cách); 4 học sinh còn lại (1 em khối 12 và 3 em khối 10) chia vào 4 thôn (có $4!$ cách). Xác suất là $P=\frac{4!\cdot A_5^4\cdot 4!}{C_{12}^3{C}_9^3{C}_6^3{C}_3^3}=\frac{72}{385}$. Chọn C.

Đánh số 10 em bé từ 1 đến 10 theo thứ tự trên đường tròn. Có 5 cặp vị trí đối diện nhau qua tâm: $(1;6),(2;7),(3;8),(4;9),(5;10)$.
Bốn đỉnh tạo thành một hình chữ nhật khi và chỉ khi 4 đỉnh đó là hai cặp đỉnh đối diện nhau qua tâm.
Tổng số kết quả khi 10 bé giơ cờ là $2^{10}=1024$.
Để không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật, ta xét số cặp đối diện có cùng màu cờ (gọi là $k$):
- Nếu $k=0$: Cả 5 cặp đều có 2 cờ khác màu (mỗi cặp có 2 cách chọn cờ): có $2^5=32$ cách.
- Nếu $k=1$: Chọn 1 cặp cùng màu ($C_5^1\times 2$ cách vì có thể cùng xanh hoặc cùng đỏ), 4 cặp còn lại khác màu ($2^4$ cách): có $C_5^1\cdot 2\cdot 2^4=160$ cách.
- Nếu $k=2$: Cần hai cặp cùng màu này khác màu nhau (một cặp cùng đỏ, một cặp cùng xanh) để không tạo thành 4 cờ cùng màu: có $C_5^2\cdot 2\cdot 2^3=160$ cách.
- Nếu $k\ge 3$: Theo nguyên lý Dirichlet, trong ít nhất 3 cặp cùng màu chắc chắn có ít nhất 2 cặp cùng màu như nhau (đều cùng đỏ hoặc đều cùng xanh), tạo thành 4 cờ cùng màu tại 4 đỉnh hình chữ nhật.
Do đó số cách thuận lợi là: $32+160+160=352$.
Xác suất $a=\frac{352}{1024}=\frac{11}{32}$.
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{2200}{a}=\frac{2200}{\frac{11}{32}}=\frac{2200\cdot 32}{11}=200\cdot 32=6400$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{30}^4=27405$.

Tứ giác nội tiếp đường tròn có $2$ góc liền kề chung một cạnh là $2$ góc tù khi và chỉ khi tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp và cạnh đó nằm khác phía đối với đường chéo nối $2$ đỉnh có góc tù, tương đương $4$ đỉnh của tứ giác không tạo thành tứ giác có góc nhọn xen kẽ hoặc chứa tâm mà mọi cặp góc kề đều có ít nhất một góc không tù. Số tứ giác không thỏa mãn là $2775$, nên số tứ giác thỏa mãn là $27405-2775=24630$.

Xác suất cần tìm là $P=\frac{24630}{27405}\approx 0,8987\approx 0,9$. Đáp án: 0,9.

Không gian mẫu của biến cố là $n(\Omega )=C_{12}^4\cdot C_4^1=1980$.

Gọi $M$ là số ở vòng tròn lớn chính giữa và $a,b,c$ ($1\le a<b<c\le 12$) là $3$ số ở ba vòng tròn nhỏ xung quanh. Theo yêu cầu bài toán ta có $b+c<M<a+b+c$.

- Với $M\in \{1;2;3;4;5;6;7\}$: không tồn tại bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn.
- Với $M=8$: có $1$ bộ $(2;3;4)$.
- Với $M=9$: có $1$ bộ $(2;3;5)$.
- Với $M=10$: có $3$ bộ $(2;3;6),(3;4;5),(2;4;5)$.
- Với $M=11$: có $4$ bộ $(2;3;7),(2;4;6),(3;4;5),(3;4;6)$.
- Với $M=12$: có $7$ bộ $(2;3;8),(2;4;7),(3;4;7),(3;4;6),(3;5;6),(4;5;6),(2;5;6)$.

Vậy có $1+1+3+4+7=16$ cách chọn thỏa mãn, xác suất $P=\frac{16}{1980}\Rightarrow 1980P=16$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=6!=720$.
Gọi số lấy được là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$. Vì tổng $6$ chữ số bằng $21$ và $(a_1+a_2+a_3)-(a_4+a_5+a_6)=1$ nên $a_1+a_2+a_3=11$ và $a_4+a_5+a_6=10$.
Các bộ ba chữ số thuộc $\{1,2,3,4,5,6\}$ có tổng bằng $10$ là $\{1,3,6\}$, $\{1,4,5\}$ và $\{2,3,5\}$. Mỗi bộ đều có đúng $2$ chữ số lẻ.
Với mỗi bộ: có $2$ cách chọn chữ số lẻ cho $a_6$, $2!$ cách xếp $a_4,a_5$ và $3!$ cách xếp $a_1,a_2,a_3$. Do đó số các số thỏa mãn là $3\cdot 2\cdot 2!\cdot 3!=72$.
Xác suất $T=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}\Rightarrow 230T=23$.