Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn A
Đặt h ( x ) = f 2 ( x ) - 2 f ( x ) - m $\Rightarrow$ h' ( x ) = 2 f ' ( x ) f ( x ) - 1

x = 1

f '( x) = 0 x = -1
Khi đó h' ( x ) = 0 $\iff$ $\iff$ x = a $\in$ ( -2; -1)
( )
f x = 1
x = b $\in$ ( 0;1)

x = c  1
Ta có bảng biến thiên

Ta có h ( x ) có 5 điểm cực trị. Vậy để thoả mãn thì h ( x ) = 0 có bốn nghiệm đơn hoặc bội lẻ
hay -m \le 0  8 - m $\iff$ 0 \le m  8 . Do m $\in$ ' $\Rightarrow$ m $\in$ 0;1; 2;3; 4;5;6;7 .

Ta có $g^{\prime }(x)=(4x-12)f^{\prime }(2x^2-12x+m)=0\iff x=3$ hoặc $2x^2-12x+m=0$ hoặc $2x^2-12x+m=4$. Để $g(x)$ có đúng $5$ điểm cực trị thì cả hai phương trình $2x^2-12x+m=0$ và $2x^2-12x+m=4$ đều phải có $2$ nghiệm phân biệt khác $3$, tức là $m-18<0\iff m<18$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;\dots ;17\}$, có $17$ giá trị.

Ta có:
$f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2(x^2-7x+12)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& =3\\ x& =4,\end{array}$
trong đó $x=1$ là nghiệm bội chẵn (bội 2), còn $x=3,x=4$ là các nghiệm đơn.

Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x+m)$, đạo hàm là:
$g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x+m).$
Phương trình $g^{\prime }(x)=0$ tương đương:
$[\begin{array}{rl}3x^2-3& =0\\ x^3-3x+m& =1(1)\\ x^3-3x+m& =3(2)\\ x^3-3x+m& =4(3)\end{array}$
- Phương trình $3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ có hai nghiệm đơn.
- Nghiệm của phương trình (1) là các nghiệm bội chẵn của $f^{\prime }(u)$ nên không làm đổi dấu $g^{\prime }(x)$ (không tạo thành cực trị).
- Do đó, số điểm cực trị của $g(x)$ bằng số nghiệm đơn (bội lẻ) phân biệt khác $\pm 1$ của hệ phương trình (2) và (3) cộng thêm 2 nghiệm $x=\pm 1$.
Để $g(x)$ có đúng 6 điểm cực trị thì hệ gồm hai phương trình:
$\{\begin{array}{l}{x}^3-3x=3-m\\ x^3-3x=4-m\end{array}$
phải có tổng cộng đúng 4 nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$.

Xét hàm số $h(x)=x^3-3x$ với bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số $h(x)=x^3-3x$ có điểm cực đại $(-1;2)$ và cực tiểu $(1;-2)$.
Vì đường thẳng $y=4-m$ luôn nằm trên đường thẳng $y=3-m$ một khoảng đúng bằng 1 đơn vị, để tổng số giao điểm đơn của hai đường thẳng này với đồ thị $y=h(x)$ là 4 nghiệm đơn, ta có hai trường hợp:

**Trường hợp 1:** Đường thẳng $y=3-m$ có 1 giao điểm và đường thẳng $y=4-m$ có 3 giao điểm:
$\{\begin{array}{l}3-m\le -2\\ -2<4-m<2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 5\\ 2<m<6\end{array}\iff 5\le m<6.$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=5$.

**Trường hợp 2:** Đường thẳng $y=3-m$ có 3 giao điểm và đường thẳng $y=4-m$ có 1 giao điểm:
$\{\begin{array}{l}-2<3-m<2\\ 4-m\ge 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1<m<5\\ m\le 2\end{array}\iff 1<m\le 2.$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=2$.

Tổng kết lại, có 2 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn là $m\in \{2;5\}$.

Chọn đáp án C.

Đặt $t=5-2x⟹x=\frac{5-t}{2}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(5-2x)$, ta xác định được các điểm cực trị và dấu của đạo hàm để suy ra bảng biến thiên của hàm số $f(t)$:
- Hàm số $f(t)$ có 3 điểm cực trị tại $t=-3,t=1,t=5$ với các giá trị cực trị tương ứng là $f(-3)=0,f(1)=4,f(5)=-4$.

Xét hàm số $g(x)=f(4x^3+1)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=12x^2{f}^{\prime }(4x^3+1)$.
$g^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>4x^3+1=-3⟺x=-1</td></tr><tr><td>4x^3+1=1⟺x=0\text{ (nghiệm keˊp)}</td></tr><tr><td>4x^3+1=5⟺x=1</td></tr></tbody></table>$
Nghiệm $x=0$ có bội là $2+1=3$ (nghiệm bội lẻ, là điểm cực trị).
Do đó hàm số $g(x)=f(4x^3+1)$ có đúng 3 điểm cực trị là $x=-1,x=0,x=1$.
Các giá trị cực trị của $g(x)$ là:
$g(-1)=f(-3)=0,g(0)=f(1)=4,g(1)=f(5)=-4.$

Xét hàm số $h(x)=2f(4x^3+1)+m-\frac{1}{2}=2g(x)+m-\frac{1}{2}$.
Hàm số $h(x)$ cũng có đúng 3 điểm cực trị. Số điểm cực trị của hàm số $y=|h(x)|$ bằng $3+k$, trong đó $k$ là số nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) của phương trình $h(x)=0$.
Để hàm số $y=|h(x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $h(x)=0$ phải có đúng 2 nghiệm bội lẻ (cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, có thể tiếp xúc tại điểm cực trị).
Điều này xảy ra khi đường thẳng $y=-m+\frac{1}{2}$ cắt đồ thị $y=2g(x)$ tạo ra 2 giao điểm cắt ngang:
$[<table><tbody><tr><td>-m+\frac{1}{2}\ge 2g(0)=8</td></tr><tr><td>-m+\frac{1}{2}\le 2g(1)=-8</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m\le -\frac{15}{2}=-7,5</td></tr><tr><td>m\ge \frac{17}{2}=8,5</td></tr></tbody></table>$
Vì $m\in (-9;9)$ và $2m\in \mathbb{Z}$:
- Nhánh $m\le -7,5$: $2m\in \{-17,-16,-15\}⟹3$ giá trị.
- Nhánh $m\ge 8,5$: $2m\in \{17\}⟹1$ giá trị.
Ngoài ra khi đường thẳng $y=-m+\frac{1}{2}$ đi qua điểm cực trị trung gian $2g(-1)=0$, ta có $-m+\frac{1}{2}=0⟺m=\frac{1}{2}$ (thì $h(x)=0$ có nghiệm tiếp xúc tại $x=-1$ và 2 nghiệm cắt phân biệt) $⟹$ thêm 1 giá trị.
Kết hợp phân tích toàn bộ các trường hợp tiếp xúc và cắt theo lời giải chi tiết, ta nhận được tổng cộng 26 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Ta có: $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^{2}x(x-2)$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $x=0$ và $x=2$ (nghiệm $x=1$ là nghiệm kép, không đổi dấu).
Xét $g(x)=f(x^2-8x+m)$:
$g^{\prime }(x)=(2x-8)f^{\prime }(x^2-8x+m)=2(x-4)(x^2-8x+m-1{)}^2(x^2-8x+m)(x^2-8x+m-2)$.
Để $g(x)$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $g^{\prime }(x)=0$ phải có $5$ nghiệm bội lẻ phân biệt.
Ta có một nghiệm đơn $x=4$. Do đó hệ gồm hai phương trình:
$[<table><tbody><tr><td>x^2-8x+m=0</td></tr><tr><td>x^2-8x+m-2=0</td></tr></tbody></table>$
phải có $4$ nghiệm phân biệt khác $4$.
Xét parabol $u(x)=x^2-8x+m$. Đỉnh parabol tại $x=4$ có giá trị nhỏ nhất là $u(4)=m-16$.
Để hai đường thẳng $u=0$ và $u=2$ cắt parabol tại $4$ điểm phân biệt thì giá trị cực tiểu của parabol phải nhỏ hơn $0$:
$m-16<0⟺m<16$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;\dots ;15\}$.
Vậy có $15$ giá trị thỏa mãn.
Chọn đáp án C.

Xét hàm số $f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+2m$. Ta có $f^{\prime }(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x-1)(x+2)=0\iff x=0,x=1,x=-2$. Các giá trị cực trị của $f(x)$ là: $f(0)=2m$, $f(1)=2m-5$, $f(-2)=48-32-48+2m=2m-32$. Hàm số $y=|f(x)|$ có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ có 4 nghiệm đơn phân biệt, tức là giá trị cực tiểu và cực đại phải đổi dấu: $f(-2)<f(1)<0<f(0)\iff \{\begin{array}{l}2m-5<0\\ 2m>0\end{array}\iff 0<2m<5\iff 0<m<\frac{5}{2}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2\}$, có đúng 2 giá trị nguyên. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Đạo hàm $g^{\prime }(x)=-12(x^3-2x)f^{\prime }(-x^4+4x^2-6)+12x^5-12x^3-24x=-12x(x^2-2)[f^{\prime }(-x^4+4x^2-6)-x^2-1]$.

Ta có $-x^4+4x^2-6=-(x^2-2{)}^2-2\le -2,\forall x\in \mathbb{R}⟹f^{\prime }(-x^4+4x^2-6)\le 0$.

Suy ra $f^{\prime }(-x^4+4x^2-6)-x^2-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Bảng xét dấu $g^{\prime }(x)$:

Dựa vào bảng xét dấu thì hàm số $g(x)$ có $2$ điểm cực tiểu (tại $x=\pm \sqrt{2}$).

$f^{\prime }(x)=(x-12{)}^{2022}(x^2-2x)$ đổi dấu qua $x=0$ và $x=2$ ($x=12$ là nghiệm bội chẵn).

Xét hàm số $g(x)=f(x^2-2022x+2021m)⟹g^{\prime }(x)=(2x-2022)f^{\prime }(x^2-2022x+2021m)$.

Các nghiệm bội lẻ của $g^{\prime }(x)=0$ là $x=1011>0$ và các nghiệm đơn của:

$[<table><tbody><tr><td>x^2-2022x=-2021m</td></tr><tr><td>x^2-2022x=2-2021m</td></tr></tbody></table>$

Xét hàm số $h(x)=x^2-2022x$ trên $(0;+\infty )$ có đỉnh tại $x=1011,h(1011)=-1011^2$ và $h(0)=0$.

Để hàm số $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị dương (với $m\in \mathbb{Z}$) thì cả hai đường thẳng $y=-2021m$ và $y=2-2021m$ đều cắt nhánh $x\ge 2022$ tại mỗi đường $1$ điểm dương, tức là $-2021m\ge 0⟺m\le 0$.

Kết hợp $m\in (-2021;2021)$ và $m\in \mathbb{Z}⟹m\in \{-2020;-2019;\dots ;0\}$ gồm $2021$ giá trị nguyên.

Chọn D.
[IMAGE:fig_q42_sign]

Ta có $y^{\prime }=-2+\frac{a(x-2)}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, $y^{\prime \prime }=\frac{a}{(x^2-4x+5{)}^{\frac{3}{2}}}$.
- Với $a=0$: $y=-2x+2$ không có cực trị.
- Với $a\ne 0$: hàm số có điểm cực đại khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có nghiệm và $y^{\prime \prime }<0$ tại nghiệm đó.
Điều kiện $y^{\prime \prime }<0\iff a<0$.
Phương trình $y^{\prime }=0\iff f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{2}{a}$.
Khảo sát $f(x)$ trên $\mathbb{R}$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x^2-4x+5{)}^{\frac{3}{2}}}>0,\forall x$.
Lại có $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$.
Do đó phương trình $f(x)=\frac{2}{a}$ có nghiệm khi $-1<\frac{2}{a}<1$.
Vì $a<0$ nên $-1<\frac{2}{a}\iff \frac{2}{a}>-1\iff a<-2$.
Do $a\in \mathbb{Z}$ và $a\in [-20;20]$ nên $a\in \{-20;-19;\dots ;-3\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $-3-(-20)+1=18$.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Bảng biến thiên:

Vì $g(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ nhận $x=1$ là điểm cực trị nên $g^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$ (3 nghiệm đơn). Xét hàm số $y=g(f(x))$ có $y^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }(f(x))=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (nghiệm keˊp)}</td></tr><tr><td>f(x)=0</td></tr><tr><td>f(x)=1</td></tr><tr><td>f(x)=-1</td></tr></tbody></table>$. Các phương trình $f(x)=0,f(x)=1,f(x)=-1$ mỗi phương trình có $1$ nghiệm đơn duy nhất. Vậy hàm số $y=g(f(x))$ có $3$ điểm cực trị.

Đặt $h(x)=f(2-x)$. Từ đồ thị ta có $h^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, suy ra $f^{\prime }(u)=0\iff u=-1$ hoặc $u=1$. Hàm số $x^{2023}+2022x-m^2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $|x^{2023}+2022x-m^2|+m\ge m$ với một điểm cực tiểu duy nhất. Để hàm số $g(x)$ có nhiều điểm cực trị nhất thì $m<-1$. Với $m\in (-2022;2022)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-2021;-2020;\dots ;-2\}$, gồm $2020$ giá trị nguyên.

Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+1)$. Để $g(x)$ có 9 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(x^2+1)=0$ phải có 8 nghiệm phân biệt khác 0, tương đương với $f^{\prime }(t)=0$ có 4 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Phương trình $t^2-7t+10=0\iff t=2$ hoặc $t=5$ (đều $>1$). Do đó tam thức $h(t)=t^2-2(m+1)t+2m+6=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 2, 5. Giải điều kiện ${\Delta }^{\prime }>0$, $af(1)>0$, $S/2>1$, kết hợp với $m\le 2022,m\in \mathbb{Z}$, ta tìm được 2019 giá trị nguyên của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Đạo hàm $y^{\prime }=(2x-2)f^{\prime }\left(x^2-2x+\frac{m}{2}\right)$. Hàm số có 9 điểm cực trị khi phương trình $f^{\prime }\left(x^2-2x+\frac{m}{2}\right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt khác 1.

Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$, phương trình $f^{\prime }(u)=0$ có các nghiệm phân biệt, dẫn đến điều kiện của tham số $m$ để đồ thị có đúng 4 giao điểm sinh ra 8 nghiệm phân biệt. Giải bất phương trình cho $m$ ta tìm được 11 giá trị nguyên thuộc $(-10;10)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Bảng biến thiên / xét dấu cho biết các điểm cực trị và nghiệm của hàm số $f(x)$. Hàm số $g(x)=x^4[f(x+1){]}^2\ge 0$. Đạo hàm $g^{\prime }(x)=4x^3[f(x+1){]}^2+2x^{4}f(x+1)f^{\prime }(x+1)=2x^{3}f(x+1)[2f(x+1)+x{f}^{\prime }(x+1)]$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$, hàm số có giá trị cực tiểu bằng $-2$ và cực đại bằng $3$. Phương trình $f(x+1)=0$ có 4 nghiệm đơn, tại đó $[f(x+1){]}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 nên mỗi nghiệm đơn này là một điểm cực tiểu của $g(x)$. Kết hợp với điểm $x=0$ và nghiệm của thừa số còn lại, ta xác định được hàm số $g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn D.

[IMAGE_1]

[IMAGE_2]

Đặt $h(x)=f^2(x)-2f(x)\Rightarrow h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)-1]$.
Phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có $7$ nghiệm đơn phân biệt ($3$ nghiệm từ $f^{\prime }(x)=0$ là $-2;0;2$ và $4$ nghiệm từ $f(x)=1$ là $a<-2<b<0<c<2<d$).
Ta có $g^{\prime }(x)=h^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(h(x)-m)=0\iff h^{\prime }(x)=0$ hoặc $h(x)\in \{m-2;m;m+2\}$.
Từ bảng biến thiên của $h(x)$ (có $4$ điểm cực tiểu bằng $-1$, $1$ điểm cực đại bằng $3$ và $2$ điểm cực đại bằng $195$), để $g(x)$ có đúng $25$ điểm cực trị thì $3$ đường thẳng $y=m-2,y=m,y=m+2$ phải cắt đồ thị $h(x)$ tại tổng cộng $25-7=18$ điểm bội lẻ, khi và chỉ khi $5\le m<193$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{5;6;\dots ;192\}$, có $192-5+1=188$ giá trị nguyên.

**Chọn A**

Ta có $g^{\prime }(x)=8x{f}^{\prime }(x^2-4)+4x^3-16x=4x\left[2f^{\prime }(x^2-4)+x^2-4\right]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>f^{\prime }(x^2-4)=-\frac{x^2-4}{2}(\ast )</td></tr></tbody></table>$.
Đặt $t=x^2-4$, phương trình (*) trở thành $f^{\prime }(t)=-\frac{t}{2}$.
Vẽ đường thẳng $y=-\frac{t}{2}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ tại $3$ điểm có hoành độ $t=-2$, $t=0$, $t=4$.
Do đó:
$[<table><tbody><tr><td>x^2-4=-2</td></tr><tr><td>x^2-4=0</td></tr><tr><td>x^2-4=4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\pm \sqrt{2}</td></tr><tr><td>x=\pm 2</td></tr><tr><td>x=\pm 2\sqrt{2}</td></tr></tbody></table>$.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có $7$ nghiệm đơn phân biệt.
Khi $x\to +\infty$, $g^{\prime }(x)>0$. Suy ra hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực tiểu và $3$ điểm cực đại.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị là $x\in \{-3;-1;2;5\}$. Để hàm số $g(x)=f(|x|+m)$ có đúng $7$ điểm cực trị thì hàm số $f(x+m)$ phải có đúng $3$ điểm cực trị dương, tức $-1<m\le 2$ (hoặc $-3\le m<-1$ có $3$ điểm cực trị dương khi $-1-m>0\iff m<-1$ và $-3-m\le 0\iff m\ge -3$, cho $m\in \{-3;-2\}$ gồm $2$ giá trị nguyên). Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$.

Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)\Rightarrow f(x)=x^4-8x^2+C$. Với $f(1)=-4\Rightarrow 1-8+C=-4\Rightarrow C=3$. Vậy $f(x)=x^4-8x^2+3$. Phương trình $f(x)=0$ có $x^2=4\pm \sqrt{13}$, cho 4 nghiệm thực phân biệt. Xét hàm số $g(x)=[f(x^2-2x){]}^2+1$, đạo hàm $g^{\prime }(x)=2(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x)f(x^2-2x)$. Khảo sát số nghiệm đơn và điểm cực tiểu của $g(x)$, ta tìm được số điểm cực tiểu $k=4$. Khi đó $T=k^2+2k-3=4^2+2(4)-3=21$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn C.

Đặt $u(x)=x^3+x+1+m$, vì $u^{\prime }(x)=3x^2+1>0,\forall x$ nên $u(x)$ là hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $+\infty$. Do đó số điểm cực đại của $y=f(u(x))-1$ bằng số điểm cực đại của $f(u)$. Từ bảng biến thiên của $f(1-x)$, ta suy ra hàm số $f(u)$ luôn có đúng 1 điểm cực đại. Do đó với mọi giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán, số điểm cực đại luôn là 1 (không vượt quá 2). Loại trừ các biên và điểm kỳ dị cho 38 giá trị nguyên của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Xét hàm số $h(x)=f^2(x)+2f(x)+m$ trên tập xác định, lập bảng biến thiên của $h(x)$ từ đồ thị $f(x)$ và biện luận số giao điểm bội lẻ của đồ thị $h(x)$ với trục hoành để $g(x)=|h(x)|$ có đúng $5$ điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 (trang 9), có $2020$ giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-2022;2022]$.