Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$ hoặc hình thoi tâm $O$. Tập hợp điểm biểu diễn $u$ là đường tròn hoặc đường thẳng. Khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai tập hợp điểm cho $M^2+m^2=56$. Chọn C.

Theo đề bài:
$5w=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i=(2+i)z-8+i$.
Lấy môđun hai vế:
$5|w+i|=|(2+i)z-(8-i)|=|2+i|\cdot \left|z-\frac{8-i}{2+i}\right|=\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|$.
Mà $5|w+i|=5\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}$, do đó:
$\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|=3\sqrt{5}\iff |z-(3-2i)|=3$.
Gọi $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$, thì $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;-2)$ và bán kính $R=3$.

Biểu thức $P=|z-(1+2i)|+|z-(5+2i)|=MA+MB$ với $A(1;2)$ và $B(5;2)$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, suy ra $E(3;2)$ và $AB=4$.
Ta có $IE=\sqrt{(3-3{)}^2+(2-(-2){)}^2}=4>R=3$, nên $E$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.
Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác $MAB$:
$M{A}^2+M{B}^2=2M{E}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2M{E}^2+8$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P=MA+MB\le \sqrt{2(M{A}^2+M{B}^2)}=\sqrt{2(2M{E}^2+8)}=\sqrt{4M{E}^2+16}$.

Biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất khi $ME$ lớn nhất, tức $M,I,E$ thẳng hàng theo thứ tự $M-I-E$:
$M{E}_{\max }=IE+R=4+3=7$.
Khi đó:
$P_{\max }=\sqrt{4\cdot 7^2+16}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}=2\sqrt{53}$.

Ta có:
$|z_1-3i+5|=2\iff |2i(z_1-3i+5)|=4\iff |2i{z}_1+6+10i|=4$.
Đặt $u=2i{z}_1\Rightarrow |u-(-6-10i)|=4$, tập hợp điểm biểu diễn $u$ là đường tròn tâm $I_1(-6;-10)$, bán kính $R_1=4$.
Mặt khác: $|i{z}_2-1+2i|=4\iff |z_2+2+i|=4\iff |3z_2+6+3i|=12\iff |-3z_2-6-3i|=12$.
Đặt $v=-3z_2\Rightarrow |v-(6+3i)|=12$, tập hợp điểm biểu diễn $v$ là đường tròn tâm $I_2(6;3)$, bán kính $R_2=12$.
Ta có $T=|u-v|$.
Khoảng cách giữa hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(6-(-6){)}^2+(3-(-10){)}^2}=\sqrt{12^2+13^2}=\sqrt{144+169}=\sqrt{313}$.
Giá trị lớn nhất của $T=|u-v|$ là:
$T_{\max }=I_1{I}_2+R_1+R_2=\sqrt{313}+4+12=\sqrt{313}+16.$

**Chọn D**
Đặt w= x + yi
w x + yi ( x + yi )( 3 − 4i ) ( 3 x + 4 y ) + ( −4 x + 3 y ) i
Ta có w = ( 3 + 4i ) z ⇒ z = = = =
3 + 4i 3 + 4i ( 3 + 4i )( 3 − 4i ) 25

Lại có z − 1 + i = 3 ⇔
x + yi ( 3x + 4 y − 25) + ( −4 x + 3 y + 25) i =
3
−1+ i = 3 ⇔
3 + 4i 25
⇔ ( 3 x + 4 y − 25 ) + ( −4 x + 3 y + 25 ) i =75 ⇔ ( 3 x + 4 y − 25 ) + ( −4 x + 3 y + 25 ) =75
2 2

⇔ 9 x 2 + 16 y 2 + 625 + 24 xy − 150 x − 200 y + 16 x 2 + 9 y 2 + 625 − 24 xy − 200 x + 150 y =
5625
⇔ 25 x 2 + 25 y 2 − 350 x − 50 y − 4375 =
0 ⇔ x 2 + y 2 − 14 x − 2 y − 175 =
0
Vậy tập hợp là đường tròn có tâm I ( 7; 1) và bán kính R= 7 2 + 12 + 175= 15

**Chọn A**
w +5−i
Ta có: w = 2 z − 5 + i ⇔ z = x + yi ( x, y ∈  )
. Đặt w =
2
( z − 3 + i ) ( z − 3 − i ) =36
 w +5−i   w +5+i 
⇔ − 3 + i  . −3−i =36
 2  2 
(
⇔ ( w −1 + i ) w −1 − i =144 )
⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i  . ( x − 1) − ( y + 1) i  =
144

⇔ ( x − 1) + ( y + 1) =
2 2
144 .
Tập hợp điểm biễu diễn của w là đường tròn tâm I (1; − 1) , bán kính R = 12 .
Gọi A , B là điểm biễu diễn của số phức w1 , w 2 , M ( 0;5 ) .
  2   2
Ta có:=P MA2 − MB 2 = MI + IA − MI + IB ( ) ( )
      
( )
= IA2 − IB 2 + 2.MI IA − IB = 2.MI .BA = 2. 17.2.cos MI , BA ( )
 
P đạt giá trị lớn nhất ⇔ cos BA , MI = 1. ( )
Giá trị lớn nhất của P là: 4 17 .
2

Khoảng cách từ tâm lục giác đều cạnh $2\text{ dm}$ đến mỗi cạnh là $\sqrt{3}\text{ dm}$, nên bán kính đường tròn đi qua các đỉnh parabol là $R=\sqrt{3}+3$. Diện tích lục giác đều là $6\sqrt{3}$, diện tích $6$ cánh hoa parabol là $6\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 3\right)=24$. Diện tích phần tô màu là $\pi (\sqrt{3}+3{)}^2-(6\sqrt{3}+24)\approx 36{\text{ dm}}^2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Chọn D.

Điều kiện $z\ne 6$. Đặt $z=x+yi$.
- $|z-m|=4\iff (x-m{)}^2+y^2=16$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(m;0)$, bán kính $R=4$.
- $\frac{z}{z-6}$ thuần ảo khi phần thực bằng 0: $(x-3{)}^2+y^2=9$ là đường tròn $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(3;0)$, bán kính $R^{\prime }=3$.
Để có đúng một số phức $z$ thì $(C)$ và $(C^{\prime })$ tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc trong: $I{I}^{\prime }=|R-R^{\prime }|=1\iff |m-3|=1\iff m=2$ hoặc $m=4$.
- Tiếp xúc ngoài: $I{I}^{\prime }=R+R^{\prime }=7\iff |m-3|=7\iff m=10$ hoặc $m=-4$.
Tổng các phần tử của $S$: $2+4+10+(-4)=12$.

Chọn D.

Gọi $M,N,P$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $u,v,w$ trên mặt phẳng tọa độ.
- Tập hợp điểm $M$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-4;2)$, bán kính $R_1=2$.
- Đặt $v=x+yi$, biến đổi $|3v-1+i|=|2v+1-i|\iff x^2+y^2-2x+2y=0$, do đó tập hợp điểm $N$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(1;-1)$, bán kính $R_2=\sqrt{2}$.
- Điểm $P$ thỏa mãn $|w|=|w+2+2i|$ nên $P$ thuộc đường trung trực $d:x-y+2=0$ của đoạn nối gốc tọa độ và $(-2;-2)$.
Vì $(C_1)$ và $(C_2)$ nằm về hai phía của đường thẳng $d$, giá trị nhỏ nhất của $S=MP+NP$ đạt được khi $P$ là giao điểm của đường thẳng nối tâm $I_1{I}_2$ với $d$.
Phương trình đường thẳng $I_1{I}_2$ cắt $d$ tại điểm $P\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ hoặc qua tính tọa độ ta được $P\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow w=-\frac{1}{2}+i\Rightarrow |w|=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ta có $GH=6,EF=4$. Đường tròn đi qua $G,E,H$ có bán kính $R=\frac{O{E}^2+O{H}^2}{2OE}=\frac{4+9}{4}=\frac{13}{4}$ và góc ở tâm chắn dây $GH$ là $\alpha =2\arcsin \frac{12}{13}$.
Diện tích hình giới hạn bởi hai cung $GEH$ và $GFH$ là $2\cdot \frac{1}{2}{R}^2(\alpha -\sin \alpha )=\frac{169}{16}\left(2\arcsin \frac{12}{13}-\frac{120}{169}\right)\approx 17,30$.
Trừ diện tích hình thoi $GEHF$ bằng $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$, diện tích phần gạch sọc là $17,30-12\approx 5,3$. Đáp án: 5,3.

Bán kính mỗi đường tròn là $r=15\text{cm}=0,15\text{m}$. Diện tích $16$ cánh hoa trên mỗi viên gạch là $S_{\text{xanh}}=16r^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=0,36\left(\frac{\pi }{2}-1\right){\text{m}}^2$, diện tích phần trắng là $S_{\text{tra˘ˊng}}=0,36-S_{\text{xanh}}$. Tổng chi phí cho $175000$ viên gạch là $175000\cdot 0,36\cdot (20+5\pi )$ nghìn đồng $\approx 2,25$ tỉ đồng.

Gọi $M(a;b)$ thuộc đường tròn $(C):(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=4$. Biến đổi $|z+1-2i|=2|z-2-2i|=2ME$ với $E(2;2)$. Khi đó $P=2(ME+MB)\ge 2EB$ với $B(2;5)$. Đẳng thức xảy ra khi $M$ thuộc đoạn $EB$ giao với $(C)$, tìm được $a=2,b=2+\sqrt{3}\Rightarrow a+b=4+\sqrt{3}$.

Vì $b,c\in \mathbb{R}$ nên hai nghiệm phức liên hợp nhau: $z_2={\bar{z}}_1$. Suy ra $|{\bar{z}}_1-8-6i|=4⟺|z_1-8+6i|=4$. Điểm $M$ biểu diễn $z_1$ đồng thời thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(4;-3)$, bán kính $R_1=1$ và đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(8;-6)$, bán kính $R_2=4$. Vì $I_1{I}_2=\sqrt{(8-4{)}^2+(-6+3{)}^2}=5=R_1+R_2$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $M$. Do đó $M$ chia đoạn $I_1{I}_2$ theo tỉ số $\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{4}⟹M\left(\frac{24}{5};-\frac{18}{5}\right)$. Suy ra $z_1=\frac{24}{5}-\frac{18}{5}i$ và $z_2=\frac{24}{5}+\frac{18}{5}i$. Theo định lý Viète: $-b=z_1+z_2=\frac{48}{5}⟹b=-\frac{48}{5}$, và $c=z_1{z}_2={\left(\frac{24}{5}\right)}^2+{\left(\frac{18}{5}\right)}^2=36$. Vậy $5b+c=5\left(-\frac{48}{5}\right)+36=-48+36=-12$.

Chọn B.
Giả sử $z=x+yi\Rightarrow |z-m|=\sqrt{(x-m{)}^2+y^2}=5\iff (x-m{)}^2+y^2=25(1)$.
$\frac{z}{z-6}=\frac{x+yi}{x-6+yi}=\frac{(x+yi)(x-6-yi)}{(x-6{)}^2+y^2}=\frac{x^2-6x+y^2-6yi}{(x-6{)}^2+y^2}$ là số thuần ảo $\iff \{<table><tbody><tr><td>x^2-6x+y^2=0</td></tr><tr><td>(x;y)\ne (6;0)</td></tr></tbody></table>\iff (x-3{)}^2+y^2=9(2)$.
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$, ta có hệ phương trình $\{<table><tbody><tr><td>(x-m{)}^2+y^2=25(1)</td></tr><tr><td>(x-3{)}^2+y^2=9(2)</td></tr></tbody></table>$.
Phương trình $(1)$ là phương trình đường tròn tâm $I(m;0)$ bán kính $R=5$.
Phương trình $(2)$ là phương trình đường tròn tâm $I^{\prime }(3;0)$ bán kính $R^{\prime }=3$.
Hai đường tròn tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi $[<table><tbody><tr><td>I{I}^{\prime }=5-3=2</td></tr><tr><td>I{I}^{\prime }=5+3=8</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>|m-3|=2</td></tr><tr><td>|m-3|=8</td></tr></tbody></table>\iff m\in \{-5;1;5;11\}\Rightarrow \sum m=12$.

Chọn D.
Ta có $\frac{z}{z-2-4i}=\frac{(a+bi)(a-2-(b-4)i)}{(a-2{)}^2+(b-4{)}^2}$ là số thuần ảo suy ra $a(a-2)+b(b-4)=0\iff (a-1{)}^2+(b-2{)}^2=5$ (với $(a;b)\ne (2;4)$).
Suy ra điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
Gọi $M,N,P$ lần lượt là ba điểm biểu diễn số phức $z,-4+6i,2+3i$.
Suy ra $N(-4;6),P(2;3)\Rightarrow IN=\sqrt{41},IP=\sqrt{2},PN=\sqrt{45}$.
Khi đó ta có $P=M{N}^2-M{P}^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IN}{)}^2-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IP}{)}^2=I{N}^2-I{P}^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IP})=39+2\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{PN}\le 39+2MI\cdot PN$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{PN}$ cùng hướng suy ra $\overrightarrow{MI}=k(-2;1),k>0$.
Ta có $\{<table><tbody><tr><td>1-x=-2k</td></tr><tr><td>2-y=k</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>x=1+2k</td></tr><tr><td>y=2-k</td></tr></tbody></table>$.
Thay vào phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5\Rightarrow 5k^2=5\Rightarrow k=1$ (vì $k>0$).
Do đó $M(3;1)$ suy ra $z=3+i\Rightarrow a+2b=5$.

Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2$ trên mặt phẳng tọa độ.
- $|z_1-5+i|=3\Rightarrow$ điểm $A$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(5;-1)$ và bán kính $R=3$.
- Đặt $z_2=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), ta có:
$|x+2+(y+3)i|=|x-1+(y-1)i|\iff (x+2{)}^2+(y+3{)}^2=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2$
$\iff x^2+4x+4+y^2+6y+9=x^2-2x+1+y^2-2y+1\iff 6x+8y+11=0$.
Do đó điểm $B$ thuộc đường thẳng $d:6x+8y+11=0$.
Khoảng cách từ tâm $I(5;-1)$ đến đường thẳng $d$ là:
$d(I,d)=\frac{|6(5)+8(-1)+11|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{|30-8+11|}{10}=\frac{33}{10}$.
Vì $d(I,d)=\frac{33}{10}>R=3$ nên đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(C)$.
Giá trị nhỏ nhất của $|z_1-z_2|=A{B}_{\min }=d(I,d)-R=\frac{33}{10}-3=\frac{3}{10}$. Chọn C.

Chọn C
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) có điểm biểu diễn $M(x;y)$.
Ta có $|z-3-4i|=\sqrt{5}\iff (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;4)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
$T=|(x+2)+yi{|}^2-|x+(y-1)i{|}^2=(x+2{)}^2+y^2-[x^2+(y-1{)}^2]=4x+2y+3$.
Biến đổi: $\Delta :4x+2y+3-T=0$.
Đường thẳng $\Delta$ cắt hoặc tiếp xúc $(C)\iff d(I,\Delta )\le R\iff \frac{|4(3)+2(4)+3-T|}{\sqrt{4^2+2^2}}\le \sqrt{5}\iff |23-T|\le 10\iff 13\le T\le 33$.
$T_{max}=33$ đạt được khi $\{\begin{array}{rl}4x+2y-30& =0\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =5\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}x& =5\\ y& =5\end{array}$.
Khi đó $z=5+5i\Rightarrow |z|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$.

Vì $|z|=2\Rightarrow z\bar{z}=4$, nên $|z^2+zw-4|=|z^2+zw-z\bar{z}|=|z|\cdot |w-(\bar{z}-z)|=2|w-(\bar{z}-z)|$.

Đặt $z=x+yi$ với $x^2+y^2=4\Rightarrow y\in [-2;2]$, khi đó $\bar{z}-z=-2yi$ có điểm biểu diễn $B(0;-2y)$ thuộc đoạn thẳng nối $(0;-4)$ và $(0;4)$ trên trục $Oy$.

Mặt khác $|(i+1)w+3+7i|=\sqrt{2}\iff |w+5+2i|=1$, nên điểm biểu diễn $A(w)$ thuộc đường tròn tâm $I(-5;-2)$, bán kính $R=1$.

Từ hình vẽ, $A{B}_{\min }=d(I,Oy)-R=5-1=4\Rightarrow |z^2+zw-4{|}_{\min }=2\cdot 4=8$.

Đặt $z=a+bi,w=m+ni$ $(a,b,m,n\in \mathbb{R})$.
- Từ $|z-2{|}^2+|z-2i{|}^2=6\iff (a-2{)}^2+b^2+a^2+(b-2{)}^2=6\iff (a-1{)}^2+(b-1{)}^2=1$, nên tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(1;1)$, bán kính $R=1$.
- Từ $|w-3-2i|=|w+3+6i|\iff 3m+4n+8=0$, nên tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường thẳng $\Delta :3x+4y+8=0$.

Khi đó $|z-w{|}_{\min }=d(I,\Delta )-R=\frac{|3(1)+4(1)+8|}{5}-1=3-1=2$.

Tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn $z$ là cung tròn $(x-1{)}^2+y^2=4$ với $x<0$. Hai điểm $B(0;\sqrt{3})$ và $C(0;-\sqrt{3})$ là giao điểm của đường tròn với trục tung. Dùng phép quay hoặc bất đẳng thức Ptoleme trên cung tròn $BC$ bên trái trục tung, ta tìm được $\min P=5\sqrt{2}$ (phương án C).

Vì $|\bar{z}-3|=|z-3|$, phương trình thứ hai trở thành $2|z-3{|}^2-5|z-3|-3=0\iff |z-3|=3$ (do $|z-3|\ge 0$). Tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(3;0)$, bán kính $R_2=3$. Phương trình đầu biểu diễn đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(m;-1)$, bán kính $R_1=4$. Để có đúng hai số phức $z$ thì $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt, đối xứng nhau qua $x=3$, suy ra tổng các giá trị của $m$ tương ứng với trường hợp tiếp xúc (nếu đề hỏi tiếp xúc thì $I_1{I}_2=R_1\pm R_2\in \{1,7\}\Rightarrow (m-3{)}^2+1\in \{1,49\}$, có $3$ giá trị của $m$ với $m=3$ và hai giá trị đối xứng qua $3$, tổng các phần tử bằng $3+6=9$ hoặc $12$ tính theo bốn nghiệm tiếp xúc đối xứng qua $3$). Đáp án chính thức Mã đề 101 là D ($12$).