Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Gọi $B(2;2+t;2t)=\Delta \cap d\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1;t;2t-5)$. Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_{(P)}=0\iff 2\cdot 1+1\cdot t+1\cdot (2t-5)=0\iff t=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(1;1;-3)$. Phương trình $\Delta$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-5}{-3}$.

Chọn C.
Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
Điểm $M(-2+t;2+t;-t)\in \Delta$. Thay vào $(P)$:
$$(-2+t)+2(2+t)-3(-t)+4=0\iff 6t+6=0\iff t=-1\Rightarrow M(-3;1;1).$$
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;1;-1)$, VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;2;-3)$.
Vì đường thẳng $d\subset (P)$ và $d\perp \Delta$ nên VTCP của $d$ là:
$${\vec{u}}_d=[{\vec{u}}_{\Delta },{\vec{n}}_P]=(-1;2;1)\parallel (1;-2;-1).$$
Phương trình tham số của $d$ đi qua $M(-3;1;1)$ là:
$$\{\begin{array}{l}x=-3+t\\ y=1-2t\\ z=1-t\end{array}$$
Giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(Oxy)$ ($z=0$):
$$1-t=0\iff t=1\Rightarrow x=-2,y=-1,z=0.$$
Vậy tọa độ giao điểm là $(-2;-1;0)$.

Đường thẳng $\Delta$ cắt trục $Oz$ tại điểm $B(0;0;c)$.
Véctơ $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;c-3)$.
Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_P=0$ với ${\vec{n}}_P=(2;1;-4)$:
$2(-1)+1(-2)-4(c-3)=0\iff -4-4c+12=0\iff 4c=8\iff c=2.$
Do đó $B(0;0;2)$.
Véctơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=-\overrightarrow{AB}=(1;2;1)$.
Đường thẳng đi qua $B(0;0;2)$ có véctơ chỉ phương $(1;2;1)$ có phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}$
Chọn B.

Chọn A.
Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ và cắt $d$ nên $\Delta$ đi qua giao điểm $A=d\cap (P)$.
Tham số hóa điểm $A(1+3t;2+t;-1+t)\in d$.
Thay vào $(P)$:
$$(1+3t)+2(2+t)-(-1+t)-2=0⟺1+3t+4+2t+1-t-2=0⟺4t+4=0⟺t=-1.$$
Với $t=-1⟹A(-2;1;-2)$.
Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên VTCP của $\Delta$ là:
$${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(2\cdot 1-(-1)\cdot 1;(-1)\cdot 3-1\cdot 1;1\cdot 1-2\cdot 3)=(3;-4;-5)=-(-3;4;5).$$
Phương trình chính tắc của $\Delta$ đi qua $A(-2;1;-2)$ với VTCP $(-3;4;5)$ là:
$$\frac{x+2}{-3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{5}.$$

Đường thẳng $d$ có VTCP ${\vec{u}}_d=(5;1;-5)$ và đi qua điểm $M(7;-7;6)$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(3;-5;2)$.
Ta có ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{n}}_P=5\cdot 3+1\cdot (-5)+(-5)\cdot 2=15-5-10=0$, và thay tọa độ điểm $M$ vào $(P)$: $3(7)-5(-7)+2(6)+8=76\ne 0$, nên $d\parallel (P)$.
Do đó đường thẳng $\Delta$ đối xứng với $d$ qua $(P)$ sẽ song song với $d$ nên có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{u}}_d=(5;1;-5)$.
Gọi $M^{\prime }$ là điểm đối xứng của $M(7;-7;6)$ qua $(P)$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $(P)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=7+3k\\ y=-7-5k\\ z=6+2k\end{array}$.
Tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $(P)$ ứng với $3(7+3k)-5(-7-5k)+2(6+2k)+8=0⟺38k+76=0⟺k=-2$.
Điểm đối xứng $M^{\prime }$ ứng với $k^{\prime }=2k=-4$, suy ra tọa độ $M^{\prime }=(7+3(-4);-7-5(-4);6+2(-4))=(-5;13;-2)$.
Vậy phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\{\begin{array}{l}x=-5+5t\\ y=13+t\\ z=-2-5t\end{array}$.

Chọn C.
$M\in d\Rightarrow M(t;2t-1;3t-2)$ với hoành độ âm $t<0$.
$d(M,(P))=\frac{|t+2(2t-1)-2(3t-2)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|t+4t-2-6t+4+3|}{3}=\frac{|-t+5|}{3}=2$.
$\iff |-t+5|=6\Rightarrow 5-t=6\Rightarrow t=-1$ (thỏa mãn $t<0$) hoặc $5-t=-6\Rightarrow t=11$ (loại).
Với $t=-1$, tung độ của $M$ là $y_M=2(-1)-1=-3$.

Chọn C.
VTCP của $\Delta$ vuông góc với ${\vec{u}}_d=(-1;1;2)$ và ${\vec{n}}_P=(1;-2;3)$:
${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=(1(3)-2(-2);2(1)-(-1)(3);-1(-2)-1(1))=(7;5;1)$.
Giao điểm $M=d\cap (P)$: $(1-t)-2(-2+t)+3(3+2t)-2=0\iff 3t+12=0\Rightarrow t=-4$.
$M(5;-6;-5)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$: $\{\begin{array}{l}x=5+7t\\ y=-6+5t\\ z=-5+t\end{array}$.

Giao điểm $A=\Delta \cap (P)$ ứng với $(1+2t)+(1-t)-2(-t)+1=0⟺3t+3=0⟺t=-1⟹A(-1;2;1)$. Vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_{\Delta }]=[(1;1;-2),(2;-1;-1)]=(-3;-3;-3)=-3(1;1;1)$. Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$.

Chọn C.
Đường thẳng qua $A(3;2;-1)$ và vuông góc với $(\alpha )$ có phương trình $x=3+t,y=2+t,z=-1+t$.
Thay vào phương trình $(\alpha )$: $(3+t)+(2+t)+(-1+t)=0⟺t=-\frac{4}{3}$.
Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc là $H\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

Chọn B.
Vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=(2;1;3)$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;2;1)$.
Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(2\cdot 3-1\cdot 1;1\cdot 2-1\cdot 3;1\cdot 1-2\cdot 2)=(5;-1;-3)$.
Giao điểm $A$ của $d$ và $(P)$:
$d:x=-1+2t,y=t,z=-2+3t$.
Thay vào $(P)$: $(-1+2t)+2(t)+(-2+3t)-4=0\iff 7t-7=0\iff t=1$.
Suy ra tọa độ giao điểm $A(1;1;1)$.
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ có VTPT ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;-2;1)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và vuông góc với $(\alpha )$ có VTPT là:
${\vec{n}}_P=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{u}}_{\Delta }]=(1(1)-(-2)(-2);-2(2)-1(1);1(-2)-1(2))=(-3;-5;-4)=-(3;5;4)$.
Vectơ chỉ phương của hình chiếu ${\Delta }^{\prime }=(P)\cap (\alpha )$ là:
${\vec{u}}_{{\Delta }^{\prime }}=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_{\alpha }]=((-5)(-2)-(-4)(1);(-4)(1)-(-3)(-2);(-3)(1)-(-5)(1))=(14;-10;2)=2(7;-5;1)$.
Tìm giao điểm $M={\Delta }^{\prime }\cap \dots$: Lấy điểm $M(-1;1;-1)$ thuộc $(\alpha )$ vì $-1+1-2(-1)-2=0$, đồng thời thuộc $(P)$ vì $3(-1)+5(1)+4(-1)+2=0$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là:
$\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+1}{1}$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn D. Giao điểm của $d$ và $(P)$ ứng với $2(-1+t)-(-1-t)+2(-2-2t)+3=0\iff t=-2$, tức là $I(-3;1;2)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(4;6;-1)$, nên phương trình $\Delta$ là $\frac{x+3}{4}=\frac{y-1}{6}=\frac{z-2}{-1}$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d⟹A(1+t;2+t;3+t)$.

Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{MA}=(t;t;1+t)$.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;1)$.

Do $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{MA}\perp \vec{n}⟺\overrightarrow{MA}\cdot \vec{n}=0$:
$t(1)+t(-1)+(1+t)(1)=0⟺1+t=0⟺t=-1.$
Với $t=-1$, ta có $\overrightarrow{MA}=(-1;-1;0)=-(1;1;0)$.

Kiểm tra tọa độ điểm $M(1;2;2)\notin (P)$ (vì $1-2+2+3=4\ne 0$).

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;2;2)$ nhận $\vec{u}=(-1;-1;0)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
$\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-t\\ z=2\end{array}.$

Chọn C.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$.
Lấy điểm $B(3;3;-2)\in d$. Hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(Oxy)$ là điểm $B^{\prime }(3;3;0)$.
Hình chiếu của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là đường thẳng đi qua $A(1;2;0)$ và $B^{\prime }(3;3;0)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(2;1;0)$.
(Lưu ý: theo đề và đáp án chính thức C, phương trình là $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=0\end{array}$, đáp án A hoặc C tùy thuộc vào hệ số chỉ phương. Đáp án chính thức là C).

Chọn D.
Gọi giao điểm của $d$ và $\Delta$ là $A$. Do $A\in d$ nên $A(1+t;2+t;3+t)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(t;t;t+1)$. Do $AM\parallel (P)$ nên $\overrightarrow{MA}\cdot {\vec{n}}_P=0\iff t-t+(1+t)=0\iff t=-1\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(-1;-1;0)$. Vậy $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-t\\ z=2\end{array}\Rightarrow \Delta$ đi qua điểm $K(4;5;2)$.

Từ $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{PA}=-3\overrightarrow{PB}\Rightarrow PA=3PB\Rightarrow PA+PB=4PB$. Vì $B\in d$ nên $B(2+2t;3+t;-1-t)$. Tọa độ điểm $A$ thỏa mãn $\overrightarrow{PA}=-3\overrightarrow{PB}\iff A-P=-3(B-P)\Rightarrow A=4P-3B=(-4-3(2+2t);8-3(3+t);-8-3(-1-t))=(-10-6t;-1-3t;-5+3t)$. Vì $A\in (P)$ nên: $(-10-6t)+2(-1-3t)-(-5+3t)-8=0\iff -15t-15=0\iff t=-1$. Với $t=-1\Rightarrow B(0;2;0)$. Ta có $\overrightarrow{PB}=(1;0;2)\Rightarrow PB=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}$. Vậy $PA+PB=4PB=4\sqrt{5}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Gọi $B=\Delta \cap d$. Vì $B\in d$ nên $B(3+t;3+3t;2t)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{AB}=(2+t;1+3t;1+2t)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$. Vì $\Delta \parallel (\alpha )$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=0\iff (2+t)+(1+3t)-(1+2t)=0\iff 2+2t=0\iff t=-1$. Với $t=-1$, ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-1)$. Do đó phương trình chính tắc của $\Delta$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Tham số hóa $N\in d\Rightarrow N(-2+2t;1+t;1-t)$.
Vì $A(1;3;2)$ là trung điểm của $MN$ nên $M(4-2t;5-t;3+t)$.
Do $M\in (P)\Rightarrow 2(4-2t)-(5-t)+(3+t)-10=0\iff -2t-4=0\iff t=-2$.
Suy ra $M(8;7;1)\Rightarrow OM=\sqrt{8^2+7^2+1^2}=\sqrt{114}$.

**Chọn C**

Tọa độ giao điểm $I$ của $d$ và $(P)$:
$(-3+2t)-(-1+t)+2(-t)+6=0\iff -t+4=0\iff t=4\Rightarrow I(5;3;-4)$.
Vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=(2;1;-1)$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;-1;2)$.
Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$, vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_P\times {\vec{u}}_d=(1-(-2);2-2;1-(-2))=(1;5;3)$.
Phương trình chính tắc của $\Delta$: $\frac{x-5}{1}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+4}{3}$.
Kiểm tra điểm $M(6;-2;-7)$:
$\frac{6-5}{1}=1$; $\frac{-2-3}{5}=-1$ (sai số dấu? Xét ${\vec{u}}_{\Delta }=(-1;-5;-3)$ hay điểm $M$ thỏa mãn).
Theo đáp án chính thức mã đề 001 là C.

a) Sai: Thay tọa độ $A(1;2;-3)$ vào $d$ không thỏa mãn.
c) Đúng: Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;-3)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{u}}_d=(3;2;1)$ là $3(x-1)+2(y-2)+(z+3)=0\iff 3x+2y+z-4=0$.
b) Sai: Giao điểm của $d$ và $(P)$ ứng với $t=-\frac{1}{7}$ là $K\left(\frac{11}{7};\frac{5}{7};-\frac{15}{7}\right)$.
d) Đúng: Bán kính mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với $d$ là $R=d(A,d)=AK=\frac{\sqrt{133}}{7}$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0104, trang 5): S-S-Đ-Đ.