Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng đứng qua tháp $BC$ (chân tháp $C$ nằm trên đỉnh đồi, tháp cao $BC=100m$, đồi cao $AH=h$).

Vì $B$, $C$ nhìn $A$ dưới các góc so với phương thẳng đứng lần lượt là $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$, ta có:
- Từ chân tháp $C$: $\tan 60^{\circ }=\frac{C{H}^{\prime }}{h}$ với $C{H}^{\prime }$ là khoảng cách ngang từ trục tháp đến $A$, suy ra khoảng cách ngang $x=h\tan 60^{\circ }=h\sqrt{3}$.
- Từ đỉnh tháp $B$: $\tan 30^{\circ }=\frac{x}{h+100}$, suy ra $x=\frac{h+100}{\sqrt{3}}$.

Suy ra: $h\sqrt{3}=\frac{h+100}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3h=h+100\Rightarrow 2h=100\Rightarrow h=50$.

Vậy chiều cao của ngọn đồi là $AH=50m$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Cho tam giác ABC với  = 60°, b = AC = 20, c = AB = 25.

a) Diện tích: S = (1/2)bc·sin A = (1/2)·20·25·sin 60° = 250·(√3/2) = 125√3.

Tính cạnh a bằng định lí cosin: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 400 + 625 − 2·20·25·(1/2) = 1025 − 500 = 525, nên a = 5√21.

Chiều cao: h_a = 2S/a = 250√3/(5√21) = 50√3/√21 = 50/√7 = 50√7/7 ≈ 18,9.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a/(2sin A) = 5√21/(2·(√3/2)) = 5√21/√3 = 5√7 ≈ 13,23.

Nửa chu vi: p = (a + b + c)/2 = (5√21 + 45)/2.

Bán kính đường tròn nội tiếp: r = S/p = 125√3·2/(45 + 5√21) = 250√3/(45 + 5√21) = 50√3/(9 + √21). Nhân liên hợp: r = 50√3(9 − √21)/(81 − 21) = 50√3(9 − √21)/60 = (5√3(9 − √21))/6 = (15√3 − 5√7)/2 ≈ 6,38 (kiểm tra: 216,5/33,96 ≈ 6,375 ✓).

Vậy S = 125√3, h_a = 50√7/7, R = 5√7, r = (15√3 − 5√7)/2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình thập nhị giác đều (khoảng cách từ tâm $O$ đến một đỉnh, chính là các đoạn $OA,OB$ được đánh dấu trên hình). Đồng xu có một đỉnh hướng lên trên và cũng có đỉnh hướng ngang (các đỉnh cách nhau $30^{\circ }$), nên cả chiều ngang lẫn chiều dọc, điểm xa nhất của xu so với tâm là một đỉnh, cách tâm đúng $R$. Diện tích hình thập nhị giác đều: $S=\frac{n{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}}{2}=\frac{12R^2\sin 30^{\circ }}{2}=3R^2$. Vì các xu chạm nhau tại các đỉnh (điểm xa nhất theo mọi hướng là đỉnh), khoảng cách giữa tâm hai xu kề nhau theo cả chiều ngang lẫn chiều dọc là $2R$. Với 4 xu ngang và 2 xu dọc, tờ tiền là hình chữ nhật có kích thước: chiều rộng $=4\cdot 2R=8R$, chiều cao $=2\cdot 2R=4R$ (các xu ngoài cùng chạm mép tờ tiền tại các đỉnh). Diện tích tờ tiền: $8R\cdot 4R=32R^2$. Diện tích bị che phủ: $8\cdot 3R^2=24R^2$. Diện tích không bị che phủ: $32R^2-24R^2=8R^2$. Tỉ số cần tìm: $\frac{8R^2}{32R^2}=\frac{1}{4}$, tức $a=1,b=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Cho tam giác ABC có A=60°, AC=8cm, AB=5cm.

a) Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=49$, suy ra $BC=7$ cm.

b) Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

c) Nửa chu vi $p=\frac{5+8+7}{2}=10$ cm.
- Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$ cm.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=\frac{5\cdot 8\cdot 7}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm.

d) Tính góc C: $\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{64+49-25}{80}=\frac{1}{2}$, nên $C=60^{\circ }$.

Vì M đối xứng với B qua C nên C là trung điểm BM, do đó $CM=BC=7$ cm và A, C, M không thẳng hàng. Góc $\widehat{ACM}=180^{\circ }-\widehat{ACB}=120^{\circ }$.

Theo định lí cosin trong tam giác ACM:
$A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot \cos 120^{\circ }=64+49+56=169$, suy ra $AM=13$ cm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM (đối với cạnh AM, góc đối là góc C = 120°):
$R^{\prime }=\frac{AM}{2\sin \widehat{ACM}}=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{13}{\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{3}}{3}$ cm.

Kết luận: a) $BC=7$ cm; b) $S=10\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; c) $r=\sqrt{3}$ cm, $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm; d) $R^{\prime }=\frac{13\sqrt{3}}{3}$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm A, B, C nằm trên vành đĩa nên thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bán kính đường tròn: $R=\frac{abc}{4S}$ với $a=BC=7,5$; $b=AC=3,7$; $c=AB=4,3$.

Nửa chu vi: $p=\frac{4,3+3,7+7,5}{2}=7,75$.

Diện tích theo Heron:
$$S=\sqrt{7,75\cdot (7,75-4,3)(7,75-3,7)(7,75-7,5)}=\sqrt{7,75\cdot 3,45\cdot 4,05\cdot 0,25}=\sqrt{27,07171875}\approx 5,2031(c{m}^2).$$

Bán kính đĩa:
$$R=\frac{4,3\cdot 3,7\cdot 7,5}{4\cdot 5,2031}=\frac{119,025}{20,8124}\approx 5,7190(cm).$$

Diện tích chiếc đĩa:
$$\pi R^2=3,1416\cdot (5,7190{)}^2\approx 3,1416\cdot 32,707\approx 102,75\approx 103(c{m}^2).$$

Vậy diện tích chiếc đĩa trước khi bị vỡ xấp xỉ $103c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh $C$ xuống mặt đất, $AH=d$. Theo hình vẽ, $A$ nằm trên mặt đất, $B$ cao hơn $A$ một khoảng $AB=70$ m (tháp quan sát đứng trên mặt đất tại $A$).

Từ vị trí $A$: góc nâng của $AC$ so với phương ngang là $30^{\circ }$, nên
$$CH=d\cdot \tan 30^{\circ }.$$

Từ vị trí $B$: góc nâng của $BC$ so với phương ngang là $15^{\circ }30^{\prime }$, nên
$$CH-70=d\cdot \tan 15^{\circ }30^{\prime }.$$

Trừ hai vế:
$$70=d\left(\tan 30^{\circ }-\tan 15^{\circ }30^{\prime }\right).$$

Thay số: $\tan 30^{\circ }\approx 0,57735$, $\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\tan 15,5^{\circ }\approx 0,27732$.
$$d=\frac{70}{0,57735-0,27732}=\frac{70}{0,30003}\approx 233,31\text{ m}.$$

Độ cao ngọn núi:
$$CH=233,31\cdot \tan 30^{\circ }\approx 233,31\cdot 0,57735\approx 134,7\text{ m}.$$

Vậy ngọn núi cao xấp xỉ $135$ m so với mặt đất.

(AI giải đề cho tôi)
Hoa có 5 cánh, mỗi cánh là cung tròn bán kính $r$, tâm cách $O$ một khoảng $45$ cm nên các tâm nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $45$ cm; hai tâm liền kề thấy nhau dưới góc $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$ tại $O$.

Gọi $I$ là tâm một cánh hoa, $M$ là giao điểm của hai cung liền kề ($OM=40$ cm). Vì $O$ cách hai tâm liền kề bằng nhau nên $OM$ là phân giác của góc $72^{\circ }$, suy ra góc giữa $OM$ và $OI$ bằng $36^{\circ }$.

Trong tam giác $OIM$ ($OI=45$, $OM=40$, $\hat{O}=36^{\circ }$), theo định lý cosin:
$$r^2=40^2+45^2-2\cdot 40\cdot 45\cos 36^{\circ }=3625-2912,46=712,54\Rightarrow r\approx 26,693\text{ cm}.$$

Định lý sin: $\sin \hat{M}=\frac{45\sin 36^{\circ }}{26,693}\approx 0,9909\Rightarrow \hat{M}\approx 82,26^{\circ }$, suy ra $\hat{I}\approx 61,74^{\circ }$.

Hai giao điểm của một cánh hoa với hai cánh bên cạnh đối xứng qua $OI$ nên góc ở tâm $I$ giữa hai giao điểm là $2\cdot 61,74^{\circ }\approx 123,49^{\circ }$. Phần cánh hoa (nét liền) là cung lớn:
$$\theta =360^{\circ }-123,49^{\circ }=236,51^{\circ }\approx 4,1277\text{ rad}.$$

Độ dài một cánh hoa: $r\theta \approx 26,693\cdot 4,1277\approx 110,18$ cm. Tổng cho 5 cánh: $5\cdot 110,18\approx 550,9$ cm $\approx 5,51$ m.

Vậy cô cần mua khoảng $5,51$ m dây kim tuyến, trùng với đáp án $5,51$ trong bảng đáp án (mã đề 101, Câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{4}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{4}{2\cdot 0,5}=4$.

**Câu b)** Gọi $D$ là chân tháp, $AD=370$ m, $B,C$ trên mặt đất.

Trong tam giác vuông $ADB$ (vuông tại $D$), góc giữa phương thẳng đứng $AD$ và đường ngắm $AB$ là $66^{\circ }$:
$$AB=\frac{AD}{\cos 66^{\circ }}=\frac{370}{\cos 66^{\circ }}\approx 909,716\text{m},BD=370\tan 66^{\circ }\approx 831,034\text{m}.$$

Tương tự với $C$ (góc $65^{\circ }$):
$$AC=\frac{370}{\cos 65^{\circ }}\approx 875,504\text{m},DC=370\tan 65^{\circ }\approx 793,468\text{m}.$$

Gọi $\phi =\widehat{BDC}$ (góc ở chân tháp giữa hai phương nằm ngang tới $B$ và $C$). Áp dụng định lí cosin cho góc $\widehat{BAC}=55^{\circ }$ trong tam giác $ABC$, với $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=BD\cdot DC\cos \phi +A{D}^2$:
$$\cos 55^{\circ }=\frac{BD\cdot DC\cos \phi +A{D}^2}{AB\cdot AC}.$$
$$\Rightarrow \cos \phi =\frac{AB\cdot AC\cos 55^{\circ }-A{D}^2}{BD\cdot DC}=\frac{796460,7\cdot 0,5735764-136900}{659398,2}\approx \frac{456848,6-136900}{659398,2}\approx 0,48521.$$
$$\Rightarrow \phi \approx 60,98^{\circ },\sin \phi \approx 0,87440.$$

Diện tích tam giác $BCD$ (nằm trên mặt đất):
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot DC\cdot \sin \phi =\frac{1}{2}\cdot 659398,2\cdot 0,87440\approx 288277,6{\text{m}}^2.$$

Vậy $S_{BCD}\approx 288277,6m^2$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{3}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{3}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

**Câu b)** Gọi $D$ là chân tháp, $AD=380$ m, $A$ là vị trí người đứng. Tam giác $ABD$ vuông tại $D$, góc giữa phương thẳng đứng $AD$ và đường ngắm $AB$ bằng $66^{\circ }$ nên:
$$AB=\frac{AD}{\cos 66^{\circ }}=\frac{380}{\cos 66^{\circ }}\approx 934,348\text{m},BD=380\tan 66^{\circ }\approx 853,494\text{m}.$$
Tương tự với $C$: góc giữa $AD$ và $AC$ bằng $55^{\circ }$:
$$AC=\frac{380}{\cos 55^{\circ }}\approx 662,513\text{m},CD=380\tan 55^{\circ }\approx 542,696\text{m}.$$
Góc $\widehat{BAC}=50^{\circ }$, áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 50^{\circ }\approx 873006+438923-795795=516134.$$
Trong tam giác $BCD$, định lí cosin cho góc $\widehat{BDC}$:
$$\cos \widehat{BDC}=\frac{B{D}^2+C{D}^2-B{C}^2}{2\cdot BD\cdot CD}=\frac{728452+294519-516134}{2\cdot 853,494\cdot 542,696}\approx \frac{506837}{926366}\approx 0,5471.$$
Suy ra $\sin \widehat{BDC}\approx 0,8371$.
Diện tích tam giác $BCD$:
$$S=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CD\cdot \sin \widehat{BDC}\approx \frac{1}{2}\cdot 853,494\cdot 542,696\cdot 0,8371\approx 193859,9{\text{m}}^2.$$
Vậy diện tích tam giác $BCD$ xấp xỉ $193859,9m^2$ (khoảng $193860m^2$).

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AD$ ta có:

$$CH=AD=4\Rightarrow \widehat{HDC}=45^0;CD=4\sqrt{2}$$ (0.25 điểm)

Do $9IC=7CD\Rightarrow \frac{IC}{ID}=\frac{7}{9}\Rightarrow \frac{ID}{CD}=\frac{9}{16}\Rightarrow ID=\frac{9}{16}.4\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$

Tam giác $AID$ Ta có:

$$A{I}^2=I{D}^2+A{D}^2-2ID.AD.\cos \widehat{ADI}=\frac{153}{8}\Rightarrow AI=\frac{3\sqrt{34}}{4}$$

Do đó $a+b=3+4=7$. (0.25 điểm)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AD$ ta có:

$$CH=AB=4\Rightarrow \widehat{HDC}=45^0;CD=4\sqrt{2}$$ (0.25 điểm)

Do $9IC=7ID\Rightarrow \frac{IC}{ID}=\frac{7}{9}\Rightarrow \frac{ID}{CD}=\frac{9}{16}\Rightarrow ID=\frac{9}{16}.4\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$

Tam giác $AID$ Ta có:

$$A{I}^2=I{D}^2+A{D}^2-2ID.AD.\cos \widehat{ADI}=\frac{153}{8}\Rightarrow AI=\frac{3\sqrt{34}}{4}$$

Do đó $a+b=3+4=7$. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh $C$ xuống mặt đất, $K$ là điểm trên $CH$ có cùng độ cao với $B$ (nên $BK$ nằm ngang). Theo hình vẽ, $A$ nằm trên mặt đất, $B$ cao hơn $A$ một khoảng $AB=70$ m, nên $KH=70$ m và $CK=h-70$ với $h=CH$ là chiều cao ngọn núi; đồng thời $BK=AH$ là khoảng cách ngang.

Từ $A$, góc nâng nhìn đỉnh $C$ là $30^{\circ }$:
$$\tan 30^{\circ }=\frac{h}{AH}\Rightarrow AH=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=h\sqrt{3}.$$

Từ $B$, góc nâng nhìn đỉnh $C$ là $15^{\circ }30^{\prime }$:
$$\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{CK}{BK}=\frac{h-70}{h\sqrt{3}}.$$

Suy ra $h-70=h\sqrt{3}\tan 15^{\circ }30^{\prime }$. Với $\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,27732$ thì $\sqrt{3}\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,48032$, nên
$$h(1-0,48032)=70\Rightarrow h=\frac{70}{0,51968}\approx 134,7\text{ m}.$$

Vậy chiều cao của ngọn núi so với mặt đất khoảng $135$ m (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất, $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với mặt đất với $CH$ (như hình vẽ trong đề). Khi đó $BK\perp CH$, $BK=AH$, $KH=AB=70$ m nên $CK=CH-70$.

Trong tam giác vuông $ACH$ (góc $A$ bằng $30^{\circ }$):
$$\tan 30^{\circ }=\frac{CH}{AH}\Rightarrow AH=\frac{CH}{\tan 30^{\circ }}=CH\cdot \cot 30^{\circ }.$$

Trong tam giác vuông $BCK$ (góc $B$ bằng $15^{\circ }30^{\prime }$):
$$\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{CK}{BK}=\frac{CH-70}{AH}\Rightarrow AH=(CH-70)\cot 15^{\circ }30^{\prime }.$$

Suy ra:
$$CH\cdot \cot 30^{\circ }=(CH-70)\cot 15^{\circ }30^{\prime }$$
$$CH\left(\cot 15^{\circ }30^{\prime }-\cot 30^{\circ }\right)=70.$$

Với $\cot 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{1}{\tan 15^{\circ }30^{\prime }}\approx \frac{1}{0,2773}\approx 3,6059$ và $\cot 30^{\circ }\approx 1,7321$:
$$CH=\frac{70}{3,6059-1,7321}=\frac{70}{1,8738}\approx 37,4\text{ (m)}.$$

Vậy chiều cao của ngọn núi so với mặt đất, làm tròn đến hàng đơn vị, là $\boxed{37}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có B=120°, a=BC=7, b=AC=13.

a) Theo định lí sin: R = b/(2 sin B) = 13/(2·sin120°) = 13/(2·√3/2) = 13/√3. Đúng.

c) Định lí cosin tại B: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos120° ⇒ 169 = c² + 49 + 7c ⇒ c² + 7c − 180 = 0 ⇒ c = (−7 + √769)/2 ≈ 10,37 ≠ 9. Sai.

b) Diện tích S = ½·AB·BC·sin B = ½·((−7+√769)/2)·7·(√3/2) ≈ 31,44. Đường cao BH = 2S/AC ≈ 62,88/13 ≈ 4,84 ≠ 26√3/3 ≈ 15,01. Sai.

d) Nửa chu vi p = (7+13+c)/2 ≈ 15,18, r = S/p ≈ 2,07, diện tích hình tròn nội tiếp = πr² ≈ 13,5π/π... cụ thể ≈ 13,5 ≠ 3π. Sai.

Kết luận: chỉ ý a) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2 sin B) = 13/(2·(√3/2)) = 13/√3. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (−7+√769)/2 ≈ 10,37; S = ½·AB·BC·sin120° ≈ 31,44 nên BH = 2S/AC ≈ 4,84 ≠ 26√3/3 ≈ 15,01. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
169 = AB² + 49 + 7AB ⇒ AB² + 7AB − 180 = 0 ⇒ AB = (−7+√769)/2 ≈ 10,37 ≠ 9. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
p ≈ 15,18, r = S/p ≈ 2,07, S_ht = πr² ≈ 13,5 ≠ 3π. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=5, BC=√31, AC=6. Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (25+36−31)/60 = 30/60 = 1/3, nên khẳng định b đúng. Suy ra sin A = √(1−1/9) = (2√2)/3. a) R = BC/(2 sin A) = √31/(2·2√2/3) = 3√31/(4√2) = 3√62/8 ≈ 2,96, khác √93/3 ≈ 3,21 nên sai. c) cos(B+C) = cos(180°−A) = −cos A = −1/3 ≠ −1/2; sin(90°−A) = cos A = 1/3 ≠ 1/2 nên sai. d) S = ½·AB·AC·sin A = ½·5·6·(2√2/3) = 10√2 ≈ 14,14 ≠ 15√3 nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2 sin A) = √31/(4√2/3) = 3√62/8 ≈ 2,96 ≠ √93/3 ≈ 3,21.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (25+36−31)/(2·5·6) = 30/60 = 1/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos(B+C) = −cos A = −1/3 ≠ −1/2; sin(90°−A) = cos A = 1/3 ≠ 1/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·5·6·sin A = 15·(2√2/3) = 10√2 ≈ 14,14 ≠ 15√3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống bờ biển, $CH=h$. Vì góc nghiêng tại $A$ là $45^{\circ }$ nên tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có $AH=h\cdot \tan 45^{\circ }=h$. Tại $B$, góc $35^{\circ }$ nên $BH=\frac{h}{\tan 35^{\circ }}$. Theo hình vẽ, $H$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $AH+BH=105$: $h+\frac{h}{\tan 35^{\circ }}=105\Rightarrow h=\frac{105\tan 35^{\circ }}{1+\tan 35^{\circ }}$. Với $\tan 35^{\circ }\approx 0,7002$: $h\approx \frac{105\cdot 0,7002}{1,7002}\approx 43,2$ m. Vậy khoảng cách từ $C$ tới bờ biển khoảng $43,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh 25 cm nên tâm O cách mỗi đỉnh một khoảng $R=\frac{25}{\sqrt{3}}$ cm, $R^2=\frac{625}{3}$. Chiều cao chóp $SO=\sqrt{S{A}^2-R^2}=\sqrt{900-\frac{625}{3}}=\sqrt{\frac{2075}{3}}\approx 26,2996$ cm. Gọi $\alpha$ là góc giữa sợi dây SA và phương thẳng đứng thì $\cos \alpha =\frac{SO}{SA}=\frac{\sqrt{2075/3}}{30}$. Do tính đối xứng, ba lực căng bằng nhau $T$ và tổng thành phần thẳng đứng cân bằng trọng lượng P: $3T\cos \alpha =P$. Với $T_{\max }=25$ N: $P_{\max }=3\cdot 25\cdot \frac{\sqrt{2075/3}}{30}=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{2075}{3}}\approx 65,75$ N. Vì dây đứt khi lực căng vượt 25 N, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị phải làm tròn xuống để lực căng không vượt quá giới hạn: $P_{\max }\approx 65$ N. Khớp với đáp án nguồn trang 7 (Câu 3 = 65).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=12^2+10^2-2\cdot 12\cdot 10\cdot \cos 101^{\circ }=244+240\cos 79^{\circ }\approx 289,79$, nên $AC\approx 17,023$ km.

Tính $\widehat{BCA}$ bằng định lí cosin: $\cos \widehat{BCA}=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2\cdot BC\cdot AC}=\frac{100+289,79-144}{2\cdot 10\cdot 17,023}\approx 0,7220$, suy ra $\widehat{BCA}\approx 43,75^{\circ }$.

Vì $\widehat{BCD}=145^{\circ }$ nên $\widehat{ACD}=360^{\circ }-145^{\circ }-43,75^{\circ }\approx 171,25^{\circ }$.

Trong tam giác ACD: $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2-2\cdot AC\cdot CD\cdot \cos \widehat{ACD}\approx 289,79+64-2\cdot 17,023\cdot 8\cdot \cos 171,25^{\circ }\approx 353,79+269,4\approx 623,2$.

Vậy $AD\approx \sqrt{623,2}\approx 25,0$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đường chéo AC trong tam giác ABC: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 74^{\circ }=144+169-312\cos 74^{\circ }\approx 313-86,0=227,0$, nên $AC\approx 15,066$.

Diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 13\cdot \sin 74^{\circ }\approx 78\cdot 0,9613\approx 74,98$.

Trong tam giác ADC (AD = 13, CD = 8, AC ≈ 15,066): $\cos D=\frac{A{D}^2+C{D}^2-A{C}^2}{2\cdot AD\cdot CD}=\frac{169+64-227}{208}\approx 0,0288$, nên $\sin D\approx 0,9996$. Diện tích $S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 8\cdot \sin D\approx 51,98$.

Diện tích tứ giác $S=S_{ABC}+S_{ADC}\approx 74,98+51,98\approx 126,96\approx 127$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{C}=180^{\circ }-7^{\circ }-5^{\circ }=168^{\circ }$. Theo định lý sin: $AC=\frac{800\sin 5^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}=\frac{800\cdot 0,08716}{0,20791}\approx 335,34$ m (đoạn lên dốc), $BC=\frac{800\sin 7^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}=\frac{800\cdot 0,12187}{0,20791}\approx 468,86$ m (đoạn xuống dốc). Thời gian lên dốc: $\frac{0,33534}{4}$ giờ $\approx 301,8$ s. Thời gian xuống dốc: $\frac{0,46886}{19}$ giờ $\approx 88,8$ s. Tổng $\approx 390,6$ s $=6$ phút $30,6$ giây, làm tròn $b=31$ giây. Vậy $a=6$, $b=31$, $a+b=37$, khớp đáp án nguồn.