Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cạnh $BC$ và vuông góc với $(ABC)$. $(C)$ là đường tròn đường kính $BC$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$. Gọi $S$ là một điểm bất kỳ nằm trên $(C)$ khác $B,C$. Khi đó khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$ đến mặt phẳng $(Q):2x-3y+z+1=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-2{)}^2=16$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Số điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới $(C)$ sao cho góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó bằng $60^{\circ }$ là:

Chi đoàn X dự định dựng một lều trại dã ngoại hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh $SB=5$, $CD=3\sqrt{2}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.
[IMAGE:img_q13_tent]

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;2),B(2;-2;0)$. Gọi $I_1(1;1;-1)$ và $I_2(3;1;1)$ lần lượt là tâm của hai đường tròn thuộc hai mặt phẳng phân biệt và cùng nhận $AB$ làm dây cung. Biết rằng tồn tại một mặt cầu $(S)$ qua cả hai đường tròn đó. Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng $9$, khối chóp có thể tích lớn nhất bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=3$ có tâm $I$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{3}=\frac{z}{4}$. Gọi $A$ là điểm nằm trên đường thẳng $d$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB,AC,AD$ đến mặt cầu $(S)$ với $B,C,D$ là các tiếp điểm. Khi thể tích khối chóp $I.BCD$ đạt giá trị lớn nhất, mặt phẳng $(BCD)$ có phương trình là $mx+ny+pz+8=0$. Giá trị của $m+n+p$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;-2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$. Gọi $d_1,d_2,d_3$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua $O$ và lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại điểm thứ hai là $A,B,C$. Khi thể tích của khối tứ diện $OABC$ đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và đi qua điểm $A(0;4;1)$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A$ và nội tiếp trong khối cầu $(S)$. Khi diện tích xung quanh của hình nón $(N)$ lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $-x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+2d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+2{)}^2=9$ và mặt phẳng $(P):2x+y-2z+1=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $O$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ và cắt $(P)$ tại $A$ sao cho $OA$ nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-z+6=0$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-5}{1}$. Điểm $J$ thay đổi trên mặt phẳng $(P)$ sao mặt cầu tâm $J$ tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1)$ tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R_1=5$, mặt cầu $(S_2)$ tâm $I(-2;0;2)$ bán kính $R_2=1$. Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $d$. Giá trị nhỏ nhất của $MJ$ bằng

Cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-4{)}^2=20$. Từ điểm $A(0;0;-1)$ kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu $(S)$ với các tiếp điểm nằm trên đường tròn $(C)$. Từ điểm $M$ di động ngoài mặt cầu $(S)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $(C)$, kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu $(S)$ với các tiếp điểm nằm trên đường tròn $(C^{\prime })$. Biết rằng, khi bán kính đường tròn $(C^{\prime })$ gấp đôi bán kính đường tròn $(C)$ thì $M$ luôn nằm trên một đường tròn $(T)$ cố định. Bán kính đường tròn $(T)$ bằng

Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là $2\alpha =60^{\circ }$ bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng $9\text{ cm}$. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng diện tích bề mặt của hai quả cầu bằng:


Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $S(7;8;6)$ và $P(-5;-4;0)$. Xét khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $SP$. Khi khối chóp $S.ABCD$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng $(ABCD)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Giá trị $b+c+d$ bằng

Trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho điểm $A(0;0;1)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-4z+3=0$. Gọi $M,N$ là hai điểm trên mặt cầu $(S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với tia $Oz$ và $MN=4$. Gọi $E$ là điểm nằm trên đoạn $MN$. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AE$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, một con chim bồ câu xuất phát từ $O(0;0;0)$ di chuyển với véctơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(1;2;2)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $A(0;0;5)$ với véctơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(0;3;4)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà người ta thường xuyên săn bắn chim có dạng mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=16$. Biết rằng đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1,5\text{ meˊt}$ và đơn vị đo thời gian là giây.
[IMAGE:img_q16_birds]

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=25$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $S(3;5;1)$ và cắt mặt cầu tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=6$ (với giả thiết $SA<SB$). Khi $OA$ đạt giá trị lớn nhất, đặt $d(O,\Delta )=M$; còn khi $OA$ đạt giá trị nhỏ nhất, đặt $d(O,\Delta )=m$. Khi đó $(M+m)\cdot 2-M\cdot m$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, đáy là tam giác vuông tại $B$, biết $AB=a\sqrt{5}$, $BC=a$, $SA=a\sqrt{6}$. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên các cạnh $SB,SC$. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp $A.BC{C}_1{B}_1$ bằng

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+10=0$. Xét đường thẳng $d:\{<table><tbody><tr><td>x=1+t</td></tr><tr><td>y=-mt</td></tr><tr><td>z=(m-1)t</td></tr></tbody></table>$ ($t\in \mathbb{R}$), với $m$ là tham số. Giả sử hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $M$ và $N$. Khi đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất thì mặt phẳng $(\alpha )$ qua tâm của mặt cầu $(S)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có dạng $5x+by+cz+d=0$. Hãy tính $T=b+c+d$.