Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Do $m$ là số nguyên dương nên ${\log }_3(2m)>0>-\frac{3}{2}$.

Khi đó $\left(3^{x+2}-\sqrt{3}\right)(3^x-2m)<0⟺-\frac{3}{2}<x<{\log }_3(2m)$.

Để có không quá $9$ số nguyên $x$ thỏa mãn đề bài (tức $x\in \{-1;0;1;\dots ;7\}$) thì:

${\log }_3(2m)\le 8⟺2m\le 3^8=6561⟺m\le \frac{6561}{2}=3280,5.$

Do $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;\dots ;3280\}⟹$ có $3280$ giá trị của $m$.

Chọn A.
Điều kiện: $x+8>0\iff x>-8$.
Ta có $27^{x+1}=3^{3(x+1)}=3^{3x+3}$.
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}{3}^{x^2-1}-3^{3x+3}\ge 0\\ {\log }_3(x+8)-2\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-1\ge 3x+3\\ x+8\le 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-3x-4\ge 0\\ x\le 1\end{array}\iff x\le -1$.
Kết hợp điều kiện $x>-8$ ta được $-8<x\le -1$.
- Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}{3}^{x^2-1}-3^{3x+3}\le 0\\ {\log }_3(x+8)-2\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-3x-4\le 0\\ x+8\ge 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1\le x\le 4\\ x\ge 1\end{array}\iff 1\le x\le 4$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-8;-1]\cup [1;4]$.
Các nghiệm nguyên gồm $\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4\}$.
Tổng cộng có 11 nghiệm nguyên.

Chọn C.
Bất phương trình đã cho tương đương:
${\log }_2(13x^2-4x+3-m)\ge {\log }_2(x^2+1),\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff 13x^2-4x+3-m\ge x^2+1,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff 12x^2-4x+2-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a=12>0\\ {\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-12(2-m)\le 0\end{array}\iff 4-24+12m\le 0\iff 12m\le 20\iff m\le \frac{5}{3}.$
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{Z}}^{+}$) nên $m=1$.
Vậy có đúng 1 giá trị nguyên dương thỏa mãn.

Điều kiện: $x>-14$. Các nghiệm của từng thừa số trên $(-14;+\infty )$ là $x^2-2x=0\iff x\in \{0;2\}$ và ${\log }_2(x+14)=4\iff x=2$. Khi đó bất phương trình tương đương $(2^{x^2}-2^{2x})[{\log }_2(x+14)-4]\le 0\iff x\in (-14;0]\cup \{2\}$. Các giá trị nguyên của $x$ là $\{-13;-12;\dots ;0\}\cup \{2\}$, gồm $15$ số nguyên.

Điều kiện: $x>0$. Trên $(0;+\infty )$, ${\log }_{2}x-4=0\iff x=16$ và $3^{x^2}-81=0\iff x^2=4\iff x=2$. Lập bảng xét dấu trên $(0;+\infty )$, bất phương trình nghiệm đúng khi $x\in (2;16)$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{3;4;\dots ;15\}$, có $13$ số nguyên.

Điều kiện xác định: $x+25>0\iff x>-25$. Bất phương trình $(2^{x^2}-4^x)[{\log }_3(x+25)-3]\le 0$ tương đương với hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}{2}^{x^2}-2^{2x}\ge 0\\ {\log }_3(x+25)\le 3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ge 0\\ x+25\le 27\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le 0\text{ hoặc }x\ge 2\\ x\le 2\end{array}\iff x\le 0\text{ hoặc }x=2$. Kết hợp điều kiện $x>-25$, ta được $-25<x\le 0$ hoặc $x=2$.

Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}{2}^{x^2}-2^{2x}\le 0\\ {\log }_3(x+25)\ge 3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0\le x\le 2\\ x\ge 2\end{array}\iff x=2$.

Tổng hợp lại ta được $x\in \{-24;-23;\dots ;-1;0;2\}$. Có $25+1=26$ giá trị nguyên của $x$ thoả mãn. Chọn đáp án B.

Điều kiện xác định: $x+25>0\iff x>-25$. Phương trình $(2^{x^2}-4^x)[{\log }_3(x+25)-3]=0$ có các nghiệm $x=0$, $x=2$. Lập bảng xét dấu của tích:
- Với $-25<x\le 0$: $2^{x^2}-4^x\ge 0$ và ${\log }_3(x+25)-3\le 0$ nên tích không dương. Tập nghiệm nguyên là $\{-24;-23;\dots ;0\}$ (gồm 25 số nguyên).
- Với $0<x<2$: tích dương (loại).
- Tại $x=2$: tích bằng $0$ (thỏa mãn).
- Với $x>2$: tích dương (loại).
Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là $x\in \{-24;-23;\dots ;0;2\}$, tổng cộng có 26 số nguyên. Chọn đáp án D.

Điều kiện xác định: $x>0$ và $256-2^x\ge 0\iff 2^x\le 256=2^8\iff x\le 8$. Kết hợp $x\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow x\in \{1,2,...,8\}$.
- Tại $x=8$: $\sqrt{256-2^8}=0$, thỏa mãn.
- Với $0<x<8$: bất phương trình trở thành ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2\ge 0\iff {\log }_{2}x\le 1$ hoặc ${\log }_{2}x\ge 2\iff x\le 2$ hoặc $x\ge 4$.
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{1,2\}\cup \{4,5,6,7\}\cup \{8\}$ (xét theo tập nghiệm chính xác loại trừ). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Điều kiện: $m{x}^2+4x+m>0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}m>0\\ 4-m^2<0\end{array}\iff m>2$.

Ta có: $1-{\log }_{\frac{1}{7}}(x^2+1)\ge {\log }_7(m{x}^2+4x+m)$

$\iff {\log }_{7}7+{\log }_7(x^2+1)\ge {\log }_7(m{x}^2+4x+m)$

$\iff {\log }_7\left[7(x^2+1)\right]\ge {\log }_7(m{x}^2+4x+m)$

$\iff 7x^2+7\ge m{x}^2+4x+m\iff (7-m)x^2-4x+7-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}7-m>0\\ (-2{)}^2-(7-m{)}^2\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<7\\ -m^2+14m-45\le 0\end{array}\iff m\le 5$.

Kết hợp điều kiện $m>2$, ta được $2<m\le 5$.

**Chọn A**

Trường cho các lớp nghỉ học khi:
$y\ge 5000\times 40\%\iff \frac{5000}{1+4999e^{-0,8t}}\ge 2000\iff 1+4999e^{-0,8t}\le \frac{5}{2}\iff 4999e^{-0,8t}\le \frac{3}{2}\iff e^{-0,8t}\le \frac{3}{9998}\iff -0,8t\le \ln \left(\frac{3}{9998}\right)\iff t\ge -\frac{\ln \left(\frac{3}{9998}\right)}{0,8}\approx 10,14$.
Vậy sau ít nhất $11$ ngày thì trường cho các lớp nghỉ học.

Điều kiện xác định: $4x>0\iff x>0$. Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$. Ta có ${\log }_2(4x)-2={\log }_{2}x+2-2={\log }_{2}x$. Bất phương trình trở thành $(3^{x^2}-3^{3x}){\log }_{2}x\ge 0$. Với $x\ge 1$, ${\log }_{2}x\ge 0$. Cụ thể:
- Với $x=1$: ${\log }_{2}1=0$, bất phương trình thỏa mãn $0\ge 0$ (nhận $x=1$).
- Với $x>1$: ${\log }_{2}x>0$, bất phương trình tương đương $3^{x^2}-3^{3x}\ge 0\iff x^2-3x\ge 0\iff x(x-3)\ge 0\iff x\ge 3$ (do $x>1$). Kết hợp $x\in [-2022;2022]$ và $x\in \mathbb{Z}$, ta có các số nguyên $x\in \{3,4,\dots ,2022\}$, có $2022-3+1=2020$ giá trị. Tổng cộng có $1+2020=2021$ giá trị nguyên của $x$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.

Điều kiện xác định: $x-1>0$ và $100-x^2\ge 0\iff 1<x\le 10$.
- Nếu $\sqrt{100-x^2}=0\iff x=10$: Bất phương trình thỏa mãn, vậy $x=10$ là một nghiệm nguyên.
- Nếu $1<x<10$: Khi đó $\sqrt{100-x^2}>0$, bất phương trình trở thành:
${\log }_3^2(x-1)-2{\log }_3(x-1)-3\le 0\iff -1\le {\log }_3(x-1)\le 3\iff 3^{-1}\le x-1\le 3^3\iff \frac{4}{3}\le x\le 28$.
Kết hợp với điều kiện $1<x<10$, ta được $\frac{4}{3}\le x<10$. Vì $x$ nguyên nên $x\in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ (8 giá trị).
Kết hợp nghiệm $x=10$, tổng cộng có $8+1=9$ số nguyên $x$ thỏa mãn. Chọn đáp án C.

Điều kiện: $x>0$ và $3-{\log }_6(2x)\ne 0\iff 2x\ne 216\iff x\ne 108$.
Tử số: $4^x-68\cdot 2^x+256=(2^x-4)(2^x-64)$. Tử số có 2 nghiệm $x=2$ và $x=6$.
Lập bảng xét dấu của phân thức trên $(0;+\infty )\setminus \{108\}$, tập nghiệm nguyên tìm được có đúng 104 số nguyên.

Điều kiện xác định: $x+31>0\iff x>-31$. Đặt $f(x)=[{\log }_3(x^2+1)-{\log }_3(x+31)](32-2^{x-1})$.
Giải các phương trình nghiệm:
1) ${\log }_3(x^2+1)={\log }_3(x+31)\iff x^2-x-30=0\iff x=6$ hoặc $x=-5$ (cả hai đều thỏa mãn $x>-31$).
2) $32-2^{x-1}=0\iff 2^{x-1}=2^5\iff x=6$.
Bảng xét dấu của $f(x)$:


Tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-31;-5]\cup \{6\}$. Các số nguyên thuộc $S$ là $x\in \{-30,-29,\dots ,-5\}$ (gồm 26 số) cùng với $x=6$ (1 số). Tổng cộng có $26+1=27$ số nguyên thỏa mãn. Chọn đáp án B.

**Chọn C**

Điều kiện xác định: $x>-8$.
- $3^{x^2-1}-27^{x+1}=0\iff x^2-1=3(x+1)\iff x^2-3x-4=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$.
- ${\log }_3(x+8)-2=0\iff x+8=9\iff x=1$.
Lập bảng xét dấu trên khoảng $(-8;+\infty )$, ta nhận được nghiệm $x\in (-8;-1]\cup [1;4]$.
Các nghiệm nguyên gồm: $x\in \{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\}$ (7 nghiệm) và $x\in \{1,2,3,4\}$ (4 nghiệm).
Tổng cộng có $7+4=11$ nghiệm nguyên.

Điều kiện $x>0$.
Ta có ${\log }_4(x+6)<2-2{\log }_{4}x\iff {\log }_4(x+6)<{\log }_4\frac{16}{x^2}\iff x+6<\frac{16}{x^2}\iff x^3+6x^2-16<0\iff (x-1)(x+2)(x+8)$ ... hay $(x+2{)}^2(x+2)$:
Ta phân tích $x^3+6x^2-16=(x+2)(x^2+4x-8)<0\iff x<-2-2\sqrt{3}$ hoặc $-2<x<-2+2\sqrt{3}$.
Kết hợp điều kiện $x>0$, ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}\approx 1,464$.
Suy ra nghiệm nguyên duy nhất là $x=1$. Vậy bất phương trình có $1$ nghiệm nguyên.

Xét điều kiện xác định cơ số $2a+1\ne 0\iff a\ne -\frac{1}{2}$. Với bất đẳng thức lũy thừa có số mũ $-3<-1$, ta xét hai trường hợp của cơ số $u=2a+1$ để $u^{-3}<u^{-1}$: Trường hợp 1: $u>1\iff 2a+1>1\iff a>0$. Trường hợp 2: $-1<u<0\iff -1<2a+1<0\iff -1<a<-\frac{1}{2}$. Kết hợp lại ta được $a\in \left(-1;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;+\infty )$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn A.

**Chọn A**

Điều kiện: $x>0$.
Ta có: $(3^{x^2}-27^x)[{\log }_2(4x)-2]\ge 0$
$\iff [\begin{array}{rl}& {\log }_2(4x)-2=0\\ & \{\begin{array}{rl}{\log }_2(4x)-2& >0\\ 3^{x^2}-27^x& \ge 0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & \{\begin{array}{rl}x& >1\\ x^2& \ge 3x\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& \ge 3.\end{array}$
Vì $x$ là số nguyên thuộc $[-2022;2022]$ nên $x\in \{1\}\cup \{3;4;\dots ;2022\}$.
Số phần tử thỏa mãn là: $1+(2022-3+1)=2021$ số.

**Chọn B**

Điều kiện x > 0 .
Bất phương trình

log 2 x + log 3 x ≥ 1 + log 2 x · log 3 x

⇔ ( log 2 x - 1)( log 3 x - 1) ≤ 0

[ log 2 x - 1 ≤ 0
[ x ≤ 2

log 3 x - 1 ≥ 0
x ≥ 3

⇔
⇔
⇔ 2 ≤ x ≤ 3.
log x - 1 ≥ 0
x ≥ 2
2

] log 3 x - 1 ≤ 0
] x ≤ 3
Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.

x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m
Ta có log3 \le 1 với mọi x .
3x 2 + 2 x + 1
x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m
e 0
$\iff$ 2 với mọi x .
x - 2 ( m - 1) x + 2 - m \le 3 ( 3 x + 2 x + 1)
2

x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m
e 0

$\iff$ x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m \le 9 x 2 + 6 x + 3 với mọi x .
x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m \ge -9 x 2 - 6 x - 3

x 2 - 2 ( m - 1) x + 2 - m
e 0

$\iff$ -8 x 2 - 2 ( m + 2 ) x - 1 - m \le 0 với mọi x .
10 x 2 - 2 ( m - 4 ) x + 5 - m \ge 0

( m - 1)2 + m - 2 < 0 m2 - m - 1 < 0

$\iff$ ( m + 2 ) - 8 ( m + 1) \le 0 $\iff$ ( m + 2 ) - 8 ( m + 1) \le 0 .
2 2


( m - 4 ) - 10 ( 5 - m ) \le 0 ( m - 4 ) - 10 ( 5 - m ) \le 0
2 2

Mà m là số nguyên nên m = 0 hay m = 1 . Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1