Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Xét $h(x)=f(f(x))$ trên $(0;+\infty )$, ta có $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)f^{\prime }(f(x))$. Đạo hàm $h^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $6$ điểm trên $(0;+\infty )$ gồm $x=2$, nghiệm $a_1\in (2;4)$ của $f(x)=0$, $x=4$, và $3$ nghiệm $a_2<b_1<c_1$ trên $(4;+\infty )$ của $f(x)=0,2,4$ (tại $x=2$, $f(x)\le 2$ không đổi dấu qua $2$ nên $f^{\prime }(f(x))$ không đổi dấu, còn $f^{\prime }(x)$ đổi dấu). Khi đó $h(x)$ đạt cực đại tại $3$ điểm $x=2,x=4,x=b_1>0$ và đồng biến trên $(0;2)$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của $g(x)=h(|x|)$. Suy ra $g(x)$ có $3+3=6$ điểm cực đại.

Chọn D.
Tính đạo hàm $g^{\prime }(x)=-2x{f}^{\prime }(-x^2)-2x+2x\cdot 2^{x^2}=2x[-f^{\prime }(-x^2)-1+2^{x^2}]$. Đặt $t=-x^2\le 0$, phương trình $f^{\prime }(t)+1=2^{-t}$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$ và đồ thị hàm mũ $2^{-t}$, xác định số nghiệm đơn đổi dấu của $g^{\prime }(x)$ cho 5 điểm cực trị.

Nhận xét hàm số $g(x)$ là hàm số chẵn vì $x$ chỉ xuất hiện với bậc chẵn.
Xét hàm số $u(x)=x^4-4x^2+2$ trên miền $[0;+\infty )$:
$u^{\prime }(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$.
Bảng biến thiên của hàm hợp:

Trên miền $[0;+\infty )$, hàm số có tối đa 4 điểm cực đại. Lấy đối xứng qua trục tung $Oy$, do $x=0$ là một điểm cực đại nên hàm số $g(x)$ trên $\mathbb{R}$ có tối đa $4\times 2+1=9$ điểm cực đại.
Chọn đáp án A.

Chọn D.
Ta có $g^{\prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)-(m+1)f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)[2f(x)-(m+1)]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)=0</td></tr><tr><td>f(x)=\frac{m+1}{2}</td></tr></tbody></table>$
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $3$ điểm cực trị $x_1,x_2,x_3$, trong đó hàm số có $2$ điểm cực tiểu và $1$ điểm cực đại với giá trị cực đại là $f(x_2)=5$ và giá trị cực tiểu là $f(x_1)=1,f(x_3)=2$.
Để hàm số $g(x)$ có ba điểm cực tiểu thì phương trình $f(x)=\frac{m+1}{2}$ phải có các nghiệm đơn xen kẽ, dẫn đến điều kiện giá trị của $\frac{m+1}{2}$:
Sau khi xét dấu đạo hàm, ta có điều kiện $1<\frac{m+1}{2}<5$ hoặc các giá trị biên phù hợp, dẫn đến số giá trị nguyên của tham số $m\in [-2021;2021]$ thỏa mãn là $2029$ giá trị.

Chọn A.
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ đạt cực trị tại $x=1,x=3$ và đi qua $(0;-2),(1;2)$, ta tìm được $f^{\prime }(x)=x^3-6x^2+9x-2$ và $f(x)=\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}-2x+4$.
Đặt $t=x+2$ và xét $h(t)=f(t)-{\sqrt{2}}^t-\frac{10}{3}$. Phương trình $h^{\prime }(t)=0⟺f^{\prime }(t)={\sqrt{2}}^t\ln \sqrt{2}$ có $3$ nghiệm phân biệt $a<b<c$ với $h(a)<0,h(b)>0,h(c)<0$.
Do đó hàm số $h(t)$ có $3$ điểm cực trị và cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt, suy ra $g(x)=|h(x+2)|$ có $7$ điểm cực trị gồm $4$ điểm cực tiểu và $3$ điểm cực đại.

Lời giải
Chọn A
Ta có y' = 3x 2 + 2bx + c .
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì y' = 0 \iff 3x 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
\iff $\Delta$' = b 2 - 3c > 0 \iff b 2 > 3c .
Ta có
2
bc )
( x b ) ( ( 2c 2b )
y = y'. ( + ) + ( ( -
)x+d - ).
9 )
9 )
( 3 9 ) (( 3
Giả sử A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị y' ( x1 ) = y' ( x2 ) = 0 .

Suy ra VABCD =

( 2c 2b 2 )
( 2c 2b 2 )
bc
bc
x
+
d
-
,
y
=
Khi đó y1 = ( -
) 1
( -
) x2 + d - .
2
9 )
9
9 )
9
( 3
( 3
Suy ra phương trình đường thẳng đí qua hai điểm A , B của đồ thị hàm số là
( 2c 2b 2 )
bc
y=( -
)x+d - .
9 )
9
( 3
bc
Do AB đi qua gốc tọa độ O nên ta được d - = 0 \iff bc = 9d .
9
2
2
Khi đó T = 9d + 12d = ( 3d + 2 ) - 4 \ge -4 .
2
Vậy Min T = -4 khi d = - , bc = -6 .
3

Đặt $u=-x^2+2x=-(x-1{)}^2+1\le 1$.
Đạo hàm của $u$ theo $x$ là $u^{\prime }=-2x+2=0\iff x=1$.
Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm bội lẻ của đạo hàm khi xét hàm hợp.
Qua biến đổi hàm hợp và bảng biến thiên của $f(x)$, hàm số đã cho có đúng $3$ điểm cực trị.
Chọn đáp án A.

Chọn A.
Xét hàm số $u(x)=x\cdot f^2(x)+m$.
Ta có $u^{\prime }(x)=f^2(x)+2xf(x)f^{\prime }(x)=f(x)[f(x)+2x{f}^{\prime }(x)]$.
Cho $u^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=0</td></tr><tr><td>f(x)+2x{f}^{\prime }(x)=0</td></tr></tbody></table>$
Từ đồ thị, $f(x)=0$ có $3$ nghiệm đơn phân biệt $x_1=0,x_2=2,x_3\in (3;4)$.
Xét hàm số $h(x)=f(x)+2x{f}^{\prime }(x)$, ta khảo sát thấy $h(x)=0$ có các nghiệm phân biệt khác nghiệm của $f(x)$, tổng số điểm cực trị của $u(x)$ tối đa là $4$.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|u(x)|$ bằng số điểm cực trị của $u(x)$ cộng với số nghiệm đơn của phương trình $u(x)=0\iff x\cdot f^2(x)=-m$.
Phương trình $x\cdot f^2(x)=-m$ có tối đa $5$ nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)$ có nhiều nhất là $4+5=9$ điểm cực trị.

Chọn A (theo bảng đáp án chính thức của đề thi, lời giải chi tiết cho kết quả $2016$ ứng với D).
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x-5$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
$f(-1)=0,f(3)=-32$.
Hàm số $y=\left|f(x)+\frac{m}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị khi phương trình $f(x)+\frac{m}{2}=0$ có 3 nghiệm phân biệt, tức là đồ thị $f(x)$ được tịnh tiến lên trên nhưng nhỏ hơn 32 đơn vị:
$0<\frac{m}{2}<32\iff 0<m<64$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{1;2;\dots ;63\}$, tổng các giá trị là $\sum m=\frac{63\cdot 64}{2}=2016$ (Bảng đáp án in nhầm dấu là $-2016$ tương ứng phương án A).

Hàm số $f(x)=\frac{x^2+m}{x^2+1}$ có $1$ điểm cực trị tại $x=0$ (khi $m\ne 1$). Để $y=|f(x)|$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $x^2+m=0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt, tức là $m<0$. Với $m\in \mathbb{Z}\cap [-2021;2021]$, có $2021$ giá trị.

Chọn A.
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ tại các nghiệm đơn, hàm số $f^{\prime }(u)=0$ có các nghiệm xác định.
Xét hàm số $u(x)=x^2-2x-2|x-1|+m$:
- Khi $x\ge 1$: $u(x)=x^2-4x+2+m$.
- Khi $x<1$: $u(x)=x^2-2+m$.
Tìm các điểm cực trị của $u(x)$ và số nghiệm của phương trình $u(x)=u_i$ dẫn đến có đúng $6$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Đặt $t=|x-1|\ge 0$. Khi đó $u(x)=x^2-2x+1-|x-1|=(x-1{)}^2-|x-1|=t^2-t$.
Xét hàm số $h(t)=t^2-t$ với $t\ge 0$. Ta có $h^{\prime }(t)=2t-1=0\iff t=\frac{1}{2}$, với $h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$. Khi $t=0\Rightarrow h(0)=0$. Khi $t\to +\infty \Rightarrow h(t)\to +\infty$.
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(u)=0$ tại các nghiệm đơn $u=-1$, $u=0$, $u=1$.
- Phương trình $h(t)=-1\iff t^2-t+1=0$ vô nghiệm.
- Phương trình $h(t)=0\iff t^2-t=0\iff t=0$ hoặc $t=1$. Nghiệm $t=0\Rightarrow x=1$. Nghiệm $t=1\Rightarrow |x-1|=1\iff x=0$ hoặc $x=2$ (2 nghiệm).
- Phương trình $h(t)=1\iff t^2-t-1=0\iff t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0$, cho 2 nghiệm phân biệt của $x$.
Ngoài ra, hàm số $h(t)$ đạt cực trị tại $t=\frac{1}{2}\Rightarrow |x-1|=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$ (2 điểm cực trị).
Điểm $x=1$ (ứng với $t=0$) cũng là 1 điểm cực trị của hàm số do hàm $|x-1|$ đổi chiều tại $x=1$.
Tổng số điểm cực trị của hàm số $g(x)$ là $1+2+2+2=7$ điểm cực trị.

Chọn đáp án D.

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=f(|4-2x|+m-2020)$.
Đặt $u=|4-2x|+m-2020=2|x-2|+m-2020$.
Hàm số $u(x)$ đối xứng qua $x=2$, đạt giá trị nhỏ nhất $u_{min}=m-2020$ tại $x=2$.
Để hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực tiểu thì đồ thị hàm số $y=f(u)$ trên $[u_{min};+\infty )$ phải có các điểm cực trị tương ứng kết hợp với điểm kì dị $x=2$.
Dựa vào đồ thị của $f^{\prime }(x)$ có các điểm cực trị đã cho, ta thiết lập điều kiện cho giá trị cực tiểu $u_{min}=m-2020$.
Giải điều kiện tìm được đúng 2 giá trị nguyên dương của $m$.

Chọn C.
Ta có: $y=m+\frac{(m+2)x+5-m}{x^2+1}$.
Đạo hàm:
$y^{\prime }=\frac{-(m+2)x^2+2(m-5)x+m+2}{(x^2+1{)}^2}.$
Để đồ thị hàm số có đúng 2 điểm cực trị thì phương trình $g(x)=-(m+2)x^2+2(m-5)x+m+2=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $m\ne -2$ và ${\Delta }^{\prime }=(m-5{)}^2+(m+2{)}^2>0$ (luôn đúng).
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình thu được từ đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu:
$y=\frac{(m+2)}{2}+\frac{m-5}{2x}\Rightarrow d:y=\frac{m+2}{2}x+\dots$
Cắt hai trục tọa độ tại $A,B$ tạo thành tam giác vuông $OAB$ có diện tích $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{25}{4}$.
Giải phương trình tìm $m$ suy ra các giá trị của $m$, tổng các phần tử của $S$ bằng $-4$.

Xét hàm số $f(x)=x^3-(2m+1)x^2+3mx-5$.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2(2m+1)x+3m$.
Để hàm số $y=|f(x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Tính ${\Delta }^{\prime }=(2m+1{)}^2-9m=4m^2-5m+1>0\iff m\in \left(-\infty ;\frac{1}{4}\right)\cup (1;+\infty )$.
Đối chiếu điều kiện các cực trị nằm về hai phía trục hoành, ta được tập hợp giá trị là $m\in (1;+\infty )$.

Chọn D.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn A. Ta có $[f(f(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(f(x))=0\iff x=\pm 1$ ($2$ nghiệm bội lẻ), $f(x)=-1$ ($1$ nghiệm bội lẻ, $1$ nghiệm kép $x=1$), hoặc $f(x)=1$ ($3$ nghiệm bội lẻ). Vậy hàm số $y=f(f(x))$ có $2+1+3=6$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Đặt $u(x)=x^2-2|x-1|-2x+m$, hàm số $u(x)$ có $3$ điểm cực trị tại $x=0,1,2$ với $u(0)=u(2)=m-2$ và $u(1)=m-1$. Để $g(x)=f(u(x))$ có đúng $9$ điểm cực trị thì phương trình $u(x)\in \{1;2;3\}$ có tổng cộng $6$ nghiệm đơn khác $0,1,2$, tương đương $m\in \{3;4;5\}$ ($3$ giá trị nguyên).

Chọn A.
Xét hàm số $h(x)=f(x^2+1)$. Ta có $h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+1)=2x(x^2-1)(x^2+3)(x^2-4)=0⟺x\in \{0;\pm 1;\pm 2\}$.
Do đó $h(x)$ có $5$ điểm cực trị. Với $f(1)=0$, ta có:
- $h(0)=f(1)=0$;
- $h(\pm 1)=f(2)={\int }_1^2(t^3-5t^2-4t+20)dt=\frac{73}{12}\approx 6,083$;
- $h(\pm 2)=f(5)={\int }_1^5(t^3-5t^2-4t+20)dt=-\frac{56}{3}$.
Để hàm số $g(x)=|h(x)-m|$ có nhiều điểm cực trị nhất (gồm $5+6=11$ điểm cực trị), đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $6$ điểm phân biệt, tức là $0<m<\frac{73}{12}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$, có $6$ giá trị nguyên.

Chọn C

+ Từ đồ thi hàm số y = f ( x) ta có f '(x) = a .x .( x - 2) (a  0)

( )(
g '( x) = f ' x5 + 4 x + m . x5 + 4 x + m ' )
= a. ( x + 4 x + m ) . ( x + 4 x + m - 2 ) .
5 5 ( 5x + 4 ) .x .( x + 4 )
4 4

( x + 4x) 5 2

x = 0

( )( )
x 5 + 4 x + m . x 5 + 4 x + m - 2 . ( 5 x 4 + 4 ) .x. ( x 4 + 4 ) = 0 $\iff$ x 5 + 4 x = -m

x5 + 4 x = -m + 2

+ Xét hàm số h( x) = x + 4 x $\Rightarrow$ h '( x) =
5 ( 5x + 4 ) .( x + 4 x) . 4 5

( x + 4x) 5 2

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy các phương trình x 5 + 4x = -m (1) và x 5 + 4x = -m + 2 (2)

nếu có nghiệm x = 0 thì nghiệm đó là nghiệm bội chẵn

( )
$\Rightarrow$ hàm số g(x) = f x 5 + 5x + m luôn có điểm cực trị x = 0 .

( )
+ Để hàm số g(x) = f x 5 + 5x + m có 5 điểm cực trị thì cả hai phương trình (1) và (2) đều có
hai nghiệm phân biệt

-m  0
$\Rightarrow$ $\iff$ m  0 . Do m $\in$ Z, m $\in$  -2021; 2021 $\Rightarrow$ có 2021 giá trị m thỏa mãn.
-m + 2  0