Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin 2x=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

Trường hợp 1: $2x=x-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Với $0<x<2025$: $2k\pi <2025+\frac{\pi }{6}\approx 2025,524\Rightarrow k<322,5$, và $k\ge 1$. Vậy $k=1,\dots ,322$: được $322$ nghiệm.

Trường hợp 2: $2x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$.
Với $0<x<2025$: $\frac{2k\pi }{3}<2025-\frac{7\pi }{18}\approx 2023,778\Rightarrow k<966,3$, và $k\ge 0$. Vậy $k=0,\dots ,966$: được $967$ nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (nếu trùng thì $-\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{18}+\frac{2m\pi }{3}$, suy ra $\frac{5\pi }{9}=2\pi \left(m-\frac{3k}{2}\right)$, vô lý vì $\frac{5}{18}\notin \mathbb{Z}$).

Tổng số nghiệm: $322+967=1289$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, tức $\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, với $0\le t\le 0,2$ nên $\frac{\pi }{4}\le 2t+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{4}+0,4\approx 1,185$ (rad). Trong khoảng này, nghiệm của $\sin u=\frac{\sqrt{3}}{2}$ là $u=\frac{\pi }{3}$. Suy ra $2t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=\frac{\pi }{24}\approx 0,1309\approx 0,13$ (giây). Nghiệm kia $u=\frac{2\pi }{3}$ cho $t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,65>0,2$ (loại). Vậy thời điểm cần tìm là $t\approx 0,13$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h=14$: $2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+12=14\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Với $0\le t\le 24$ thì $\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\le \frac{7\pi }{3}$, nên $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=2\pi \iff \frac{\pi t}{12}=\frac{5\pi }{3}\iff t=20$. Vậy mực nước đạt độ sâu 14 m lần đầu tiên vào lúc 20 giờ.

$x=2\cos \left(3t-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \cos \left(4t-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff 4t-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

$0<t=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}\le 2025\iff -\frac{5}{6}<k\le 2577.48,k\in \mathbb{Z}$
$k\in \{0;1;2;...;2577\},k\in \mathbb{Z}$
Vậy 2025 giây đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng 2578 lần

$$x=2\cos \left(3t-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \cos \left(3t-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff 3t-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$$
$$0<t=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\le 2025\iff -\frac{3}{4}<k\le 1932.98,k\in \mathbb{Z}$$
$$k\in \{0;1;2;...;1932\},k\in \mathbb{Z}$$
Vậy 2025 giây đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng 1933 lần

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $x=0$, tức $\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)=0\Rightarrow \frac{t\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=2+4k$. Với $t\in [0;20]$: $t=2;6;10;14;18$ — tổng cộng 5 lần. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne -1\Rightarrow x\ne \pi +k2\pi$. Phương trình $\frac{\sin 2x}{\cos x+1}=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên đoạn $[\pi ;3\pi ]$ các giá trị là: $x=\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi ,\frac{5\pi }{2},3\pi$. Loại $x=\pi$ và $x=3\pi$ vì làm $\cos x+1=0$ (mẫu bằng 0). Vậy còn 3 nghiệm: $x=\frac{3\pi }{2},2\pi ,\frac{5\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$, nên a) ĐÚNG.

Giải $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$:
- Trường hợp 1: $5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-2x+2k\pi \Rightarrow 7x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$.
- Trường hợp 2: $5x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{6}+2x+2k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$.
Vậy b) ĐÚNG.

Trên $[0;\pi ]$:
- Họ $x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$: với $k=0,1,2,3$ ta được $\frac{\pi }{14},\frac{5\pi }{14},\frac{9\pi }{14},\frac{13\pi }{14}$ (4 nghiệm; $k=4$ cho $\frac{17\pi }{14}>\pi$).
- Họ $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$: chỉ $k=1$ cho $\frac{11\pi }{18}$ (1 nghiệm).
Tổng cộng 5 nghiệm, nên c) SAI.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=\frac{28\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=2\pi +\frac{11\pi }{18}=\frac{47\pi }{18}$. Vậy d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$, phương trình đã cho tương đương với $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin A=\sin B$: TH1 $5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-2x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$; TH2 $5x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\pi ]$: họ $\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$ cho 4 nghiệm $\frac{\pi }{14},\frac{5\pi }{14},\frac{9\pi }{14},\frac{13\pi }{14}$; họ $-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$ cho 1 nghiệm $\frac{11\pi }{18}$. Tổng cộng 5 nghiệm, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trên $[0;\pi ]$ là $\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=2\pi +\frac{11\pi }{18}=\frac{47\pi }{18}$.

Từ đồ thị, ta thấy, mực nước cao nhất là 15 mét đạt tại $t=24$ giờ, mực nước thấp nhất là 9 mét đạt tại $t=6$ giờ nên ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.24\right)+b=15\\ a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.6\right)+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=15\\ -a+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=12\end{array}$$

Khi đó, $h(t)=12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3$

Chiều cao của mực nước bằng 15 mét $\iff h(t)=15\iff 12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3=15\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=1$

$\frac{\pi }{6}t=k2\pi \iff t=12k,k\in \mathbb{Z}$. Do $0\le t\le 24\Rightarrow 0\le 12k\le 24\iff 0\le k\le 2$

Các giá trị nguyên của $k$ là $k\in \{0;1;2\}$

Với $k=0\Rightarrow t=0$ (giờ)

Với $k=1\Rightarrow t=12$ (giờ)

Với $k=2\Rightarrow t=24$ (giờ)

Tập hợp $S$ các thời điểm để chiều cao mực nước bằng 15 mét là $S=\{0;12;24\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là: $0+12+24=36$

Từ đồ thị, ta thấy, mực nước cao nhất là 15 mét đạt tại $t=24$ giờ, mực nước thấp nhất là 9 mét đạt tại $t=6$ giờ nên ta có hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.24\right)+b=15\\ a.\cos \left(\frac{\pi }{6}.6\right)+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=15\\ -a+b=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=12\end{array}$$

Khi đó, $h(t)=12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3$

Chiều cao của mực nước bằng 15 mét $\iff h(t)=15\iff 12\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+3=15\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=1$

$\frac{\pi }{6}t=k2\pi \iff t=12k,k\in \mathbb{Z}$. Do $0\le t\le 24\Rightarrow 0\le 12k\le 24\iff 0\le k\le 2$

Các giá trị nguyên của $k$ là $k\in \{0;1;2\}$

Với $k=0\Rightarrow t=0$ (giờ)

Với $k=1\Rightarrow t=12$ (giờ)

Với $k=2\Rightarrow t=24$ (giờ)

Tập hợp $S$ các thời điểm để chiều cao mực nước bằng 15 mét là $S=\{0;12;24\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ là: $0+12+24=36$

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị Hình 15: tại $t=0$ thì $h=16$ nên $m+a=16$; tại $t=12$ thì $h=10$ nên $m-a=10$. Giải hệ suy ra $m=13$, $a=3$. Vậy $h(t)=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$. Giải $h(t)=11,5$: $3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1,5\Rightarrow \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi }{12}t=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, tức $t=8+24k$ hoặc $t=16+24k$. Với $0\le t\le 24$, các nghiệm là $t=8$ và $t=16$. Thời điểm đầu tiên trong ngày là $t=8$ giờ. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=\cos 2x\in [-1;1]$. Phương trình $2024({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)-m+5=0$ tương đương $m=2024\cos 2x+5$. Để phương trình có nghiệm thì $-2024\le m-5\le 2024$, tức $-2019\le m\le 2029$. Số giá trị nguyên của $m$ là $2029-(-2019)+1=4049$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=\cos 2x\in [-1;1]$. Phương trình trở thành $2024\cos 2x=m-5$, có nghiệm khi và chỉ khi $-2024\le m-5\le 2024$, tức $-2019\le m\le 2029$. Số giá trị nguyên của $m$ là $2029-(-2019)+1=4049$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị Hình 15: tại $t=0$ mực nước cao nhất bằng $16$ m nên $m+a=16$; tại $t=12$ mực nước thấp nhất bằng $10$ m nên $m-a=10$. Giải hệ suy ra $m=13$, $a=3$, do đó $h(t)=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$. Giải phương trình $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=11,5\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$. Với $0\le t\le 24$ thì $\frac{\pi }{12}t\in [0;2\pi ]$, các nghiệm là $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}$ hoặc $\frac{4\pi }{3}$, tức $t=8$ hoặc $t=16$. Thời điểm đầu tiên trong ngày là $t=8$ (giờ), trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-1\le \frac{m-2}{3}\le 1\iff m\in [-1;5]$, $m$ nguyên. Đặt $a=\arccos \frac{m-2}{3}\in [0;\pi ]$. Trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{7\pi }{3}\right]$, với $\frac{m-2}{3}\in (-1;1)$, phương trình luôn có 3 nghiệm: $x=-a,x=a,x=2\pi -a$. Nghiệm thứ tư $x=2\pi +a$ thuộc đoạn khi $2\pi +a\le \frac{7\pi }{3}\iff a\le \frac{\pi }{3}\iff \frac{m-2}{3}\ge \frac{1}{2}$. Vậy cần đúng 3 nghiệm khi $-1<\frac{m-2}{3}<\frac{1}{2}\iff -1<m<3,5\iff m\in \{0;1;2;3\}$. (Kiểm tra biên: $\frac{m-2}{3}=1$ cho 2 nghiệm $x=0,2\pi$; $=-1$ cho 2 nghiệm $x=-\pi ,\pi$; $=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm vì $x=\frac{7\pi }{3}$ thuộc đoạn.) Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4{\pi }^2-x^2\ge 0\iff -2\pi \le x\le 2\pi$. Phương trình $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}\sin 2x=0$ khi $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}=0$ hoặc $\sin 2x=0$.
- $\sqrt{4{\pi }^2-x^2}=0\iff x=\pm 2\pi$ (2 nghiệm).
- $\sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}$, với $-2\pi \le x\le 2\pi \iff -4\le k\le 4$, cho $k\in \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$: 9 nghiệm là $x\in \{-2\pi ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \}$.
Hai nghiệm $\pm 2\pi$ đã nằm trong tập trên nên tổng số nghiệm là $9$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $h(t)=40\iff 30-20\sin \left(\frac{\pi }{24}t+\frac{\pi }{2}\right)=40\iff \sin \left(\frac{\pi }{24}t+\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}\iff \cos \left(\frac{\pi }{24}t\right)=-\frac{1}{2}$. Với $t\ge 0$: $\frac{\pi }{24}t=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi }{24}t=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$, tức $t=16+48k$ hoặc $t=32+48k$. Lần thứ nhất $t=16$ giây, lần thứ hai $t=32$ giây. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $h=8+2\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)$, chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /11}=22$ giờ, miền $0\le t<24$.

a) Cao nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=1\Rightarrow \frac{\pi }{11}t=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{11}{2}+22k$. Trong $[0;24)$ chỉ có $t=5,5$ (5h30). Vậy chỉ có 1 thời điểm, khẳng định SAI.

b) Thấp nhất khi $\sin =-1\Rightarrow t=\frac{33}{2}+22k$, trong $[0;24)$ có $t=16,5$ tức 16 giờ 30 phút. ĐÚNG.

c) $h=7\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{11}t=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{11}{6}+22k$ hoặc $t=\frac{77}{6}+22k$. Trong $[0;24)$: $t=\frac{121}{6}\approx 20,17$ và $t=\frac{77}{6}\approx 12,83$. Đúng 2 thời điểm. ĐÚNG.

d) $h\ge 9\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)\ge \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{11}t\le \frac{5\pi }{6}\Rightarrow \frac{11}{6}\le t\le \frac{55}{6}$, tức $t\in [1,\mathrm{833...};9,\mathrm{166...}]$. Khoảng từ 2h00' đến 9h00' nằm hoàn toàn trong khoảng này nên tàu vào được cảng. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 1 thời điểm t=5,5 (5h30) trong ngày mực nước cao nhất.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mực nước thấp nhất khi sin(πt/11)=-1, tức t=16,5 giờ = 16 giờ 30 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
h=7 cho 2 nghiệm t=77/6≈12,83 và t=121/6≈20,17 trong [0;24).
d) (AI giải đề cho tôi)
h≥9 khi t∈[11/6; 55/6]≈[1,83; 9,17], chứa trọn khoảng [2;9].

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $h=8+2\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\pi /11}=22$ giờ, xét trên $0\le t<24$.
a) $h$ cao nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=1\Rightarrow \frac{\pi t}{11}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{11}{2}+22k$. Trong $[0;24)$ chỉ có $t=5,5$ (5h30). Vậy chỉ có 1 thời điểm, khẳng định a SAI.
b) $h$ thấp nhất khi $\sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=-1\Rightarrow t=-\frac{11}{2}+22k$, trong $[0;24)$ chỉ có $t=16,5$ tức 16h30. Khẳng định b ĐÚNG.
c) $h=7\iff \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi t}{11}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $\frac{11\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{77}{6}+22k$ hoặc $t=\frac{121}{6}+22k$. Trong $[0;24)$ có $t=\frac{77}{6}\approx 12,83$ và $t=\frac{121}{6}\approx 20,17$: đúng 2 thời điểm. Khẳng định c ĐÚNG.
d) $h\ge 9\iff \sin \left(\frac{\pi }{11}t\right)\ge \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{6}+2k\pi \le \frac{\pi t}{11}\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow \frac{11}{6}+22k\le t\le \frac{55}{6}+22k$. Với $k=0$: $t\in \left[\frac{11}{6};\frac{55}{6}\right]\approx [1,83;9,17]$. Khoảng từ 2h đến 9h nằm hoàn toàn trong khoảng này nên tàu vào được cảng trong suốt khoảng thời gian đó. Khẳng định d ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 1 thời điểm t=5,5 giờ (5h30) trong ngày mực nước cao nhất do chu kỳ 22 giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
h thấp nhất khi sin(πt/11)=-1, cho t=16,5 giờ tức 16h30.
c) (AI giải đề cho tôi)
h=7 cho hai nghiệm t=77/6≈12,83 và t=121/6≈20,17 trong [0;24).
d) (AI giải đề cho tôi)
h≥9 khi t∈[11/6;55/6]≈[1,83;9,17], chứa trọn khoảng [2;9] nên tàu vào được cảng.

a)
$${\cos }^{2}3x\cdot \cos 2x-{\cos }^{2}x=0$$
$$\iff \frac{1+\cos 6x}{2}\cdot \cos 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0$$
$$\iff (1+\cos 6x)\cdot \cos 2x-(1+\cos 2x)=0$$
$$\iff \cos 2x+\cos 6x\cdot \cos 2x-1-\cos 2x=0$$
$$\iff \cos 6x\cdot \cos 2x-1=0$$
$$\iff \frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 8x)-1=0$$
$$\iff \cos 4x+\cos 8x-2=0$$
$$\iff \cos 4x+\left(2{\cos }^{2}4x-1\right)-2=0$$
$$\iff 2{\cos }^{2}4x+\cos 4x-3=0$$
$$\iff (\cos 4x-1)(2\cos 4x+3)=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}\cos 4x=1\\ \cos 4x=-\frac{3}{2}(vn)\end{array}$$
$$\iff 4x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$$
$$\iff x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

b) Ta có:
$$u_{n+1}=3-\frac{4}{u_n+2}$$
$$\iff u_{n+1}-2=1-\frac{4}{u_n+2}$$
$$\iff u_{n+1}-2=\frac{u_n-2}{u_n+2}$$
$$\iff \frac{1}{u_{n+1}-2}=\frac{u_n+2}{u_n-2}$$
$$\iff \frac{1}{u_{n+1}-2}=1+\frac{4}{u_n-2}$$

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n-2}$, $v_1=\frac{1}{u_1-2}=\frac{1}{3-2}=1$. Khi đó:

$$v_{n+1}=4v_n+1$$

$$\iff v_{n+1}+\frac{1}{3}=4\left(v_n+\frac{1}{3}\right)$$

Đặt $a_n=v_n+\frac{1}{3}$, $a_1=v_1+\frac{1}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$. Khi đó: $a_{n+1}=4a_n$.

Suy ra $(a_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $a_1=\frac{4}{3}$ và công bội $q=4$.

Suy ra $a_n=\frac{4}{3}.4^{n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Suy ra $v_n=\frac{4}{3}.4^{n-1}-\frac{1}{3}$, $\forall n\ge 2$

Suy ra $u_n=2+\frac{1}{v_n}=2+\frac{1}{\frac{4}{3}.4^{n-1}-\frac{1}{3}}=2+\frac{3}{4^n-1}$, $\forall n\ge 2$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n=2+\frac{3}{4^n-1}$, $\forall n\ge 2$.