Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.
Để chọn 3 người sao cho không có 2 người nào ngồi kề nhau, ta xem 12 người còn lại tạo ra 13 khe trống (bao gồm 2 đầu). Ta chọn 3 trong 13 khe trống này để xếp 3 người vào: số cách là $C_{13}^3=286$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{286}{455}=\frac{22}{35}$. Chọn C.

Số cách chọn 2 ghế bất kỳ cho Yên và Phong là $C_{12}^2=66$. Số cặp ghế kề nhau trong cùng một dãy là $2\times 5=10$. Số cặp ghế đối diện nhau qua hai dãy là $6$. Vì hai biến cố này xung khắc nhau nên số cặp ghế thuận lợi là $10+6=16$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{16}{66}=\frac{8}{33}$. Chọn D.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{13}^2=78$. Chọn $1$ bi xanh (có $6$ cách) và $1$ bi đỏ khác số với bi xanh vừa chọn (có $7-1=6$ cách), nên số kết quả thuận lợi là $6\times 6=36$. Xác suất bằng $\frac{36}{78}=\frac{6}{13}$. Chọn B.

Số các số tự nhiên có $4$ chữ số là $n(\Omega )=9000$. Số các bộ $(a,b,c,d)$ thỏa mãn $1\le a\le b\le c\le d\le 9$ tương ứng với số tổ hợp lặp chập $4$ của $9$ phần tử: $C_{9+4-1}^4=C_{12}^4=495$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{495}{9000}=0,055$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$. Để mỗi bạn nam đối diện 1 bạn nữ: có 5 cặp ghế đối diện. Xếp 5 bạn nam vào 5 cặp ghế có $5!$ cách chọn cặp, trong mỗi cặp có 2 cách chọn ghế (nam dãy này hoặc dãy kia), nên có $2^5$ cách. Sau đó xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí còn lại có $5!$ cách. Số kết quả thuận lợi là $n(A)=5!\cdot 2^5\cdot 5!$. Xác suất là $P(A)=\frac{5!\cdot 2^5\cdot 5!}{10!}=\frac{32\cdot 120}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\frac{8}{63}$. Chọn C.

Tính toán số cách chọn 4 viên bi từ 15 viên bi sao cho thỏa mãn điều kiện bài toán, xác suất thu được là $\frac{74}{455}$. Chọn A.

Ta có $n(\Omega )=9\cdot A_9^7$.

Gọi $a$ là số tự nhiên thuộc tập $A$.

Ta có $a=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$.

Do đó, $a⋮25\iff (10a_7+a_8)⋮25$ trong đó $a_8=5$ hoặc $a_8=0$. Suy ra $\overline{a_7{a}_8}$ là một trong các số sau: $50;25;75$.

TH1: Nếu $\overline{a_7{a}_8}=50$ thì có $A_8^6$ cách chọn các chữ số còn lại.

TH2: Nếu $\overline{a_7{a}_8}=25$ hoặc $\overline{a_7{a}_8}=75$ thì có $7\cdot A_7^5$ cách chọn các chữ số còn lại cho mỗi trường hợp.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{A_8^6+2\cdot 7\cdot A_7^5}{9\cdot A_9^7}=\frac{11}{324}$.

Số tam giác tạo thành từ 20 đỉnh là $C_{20}^3=1140$. Số đường chéo đi qua tâm (đường kính) là 10. Mỗi đường kính kết hợp với 1 đỉnh trong 18 đỉnh còn lại tạo thành 1 tam giác vuông. Số tam giác vuông là $10\times 18=180$. Xác suất là $\frac{180}{1140}=\frac{3}{19}$. Chọn D.

Số cách chọn bộ 3 chữ số của mỗi bạn là ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$.
Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega )=120\times 120=14400$.
Số cách chọn đúng một chữ số giống nhau:
- Chọn 1 chữ số chung: ${\mathrm{C}}_{10}^1=10$ cách.
- An chọn thêm 2 chữ số từ 9 số còn lại: ${\mathrm{C}}_9^2=36$ cách.
- Bình chọn thêm 2 chữ số từ 7 số còn lại: ${\mathrm{C}}_7^2=21$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $10\times 36\times 21=7560$.
Xác suất: $P=\frac{7560}{14400}=\frac{21}{40}$.

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử rút ngẫu nhiên $3$ thẻ.

Ta có: $n(\Omega )=C_{50}^3=19600$.

Gọi $A$ là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”.

$50$ thẻ được chia thành $3$ loại gồm:

+ $16$ thẻ có số chia hết cho $3$ là $\{3;6;\dots ;48\}$.

+ $17$ thẻ có số chia cho $3$ dư $1$ là $\{1;4;7;\dots ;49\}$.

+ $17$ thẻ có số chia cho $3$ dư $2$ là $\{2;5;8;\dots ;50\}$.

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: $3$ thẻ được chọn cùng một loại có $(C_{16}^3+C_{17}^3+C_{17}^3)$ cách.

TH2: $3$ thẻ được chọn mỗi loại $1$ thẻ có $C_{16}^1\cdot C_{17}^1\cdot C_{17}^1$ cách.

Do đó $n(A)=(C_{16}^3+C_{17}^3+C_{17}^3)+C_{16}^1\cdot C_{17}^1\cdot C_{17}^1=6544$.

Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$ bằng: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{6544}{19600}=\frac{409}{1225}$.

Chọn D.
Số phần tử của không gian mẫu (chọn 3 số tùy ý từ 10 số) là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.
Số cách chọn 3 số từ tập $\{1,2,\dots ,10\}$ sao cho không có hai số nào liên tiếp tương đương với bài toán xếp 3 số vào 7 vị trí giữa và hai đầu của 7 số còn lại (bài toán chia kẹo Euler hay bổ đề chọn phần tử không liên tiếp):
Số cách chọn là $C_{10-3+1}^3=C_8^3=56$.
Xác suất cần tìm là: $P=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$.

Số điện thoại có dạng $\overline{8a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10^6$.
- Tập chữ số chẵn: $\{0,2,4,6,8\}$. Chữ số đầu tiên là 8, nên 3 chữ số chẵn $a_2,a_3,a_4$ phân biệt được chọn từ $\{0,2,4,6\}$: có $A_4^3=24$ cách.
- Tập chữ số lẻ: $\{1,3,5,7,9\}$. Ba chữ số lẻ $a_5,a_6,a_7$ được chọn tùy ý: có $5^3=125$ cách.
Do đó số các số điện thoại thỏa mãn điều kiện bốn chữ số đầu chẵn phân biệt và ba chữ số sau lẻ là $24\times 125=3000$.
- Xét trường hợp hai chữ số 0 và 9 đứng liền nhau: vì bốn số đầu chẵn và ba số sau lẻ nên chỉ có thể là $a_4=0$ và $a_5=9$.
Khi đó:
+ Chọn $a_2,a_3$ từ $\{2,4,6\}$: có $A_3^2=6$ cách.
+ Chọn $a_6,a_7$ từ $\{1,3,5,7,9\}$: có $5^2=25$ cách.
Số trường hợp 0 và 9 đứng liền nhau là $6\times 25=150$.
- Số số điện thoại may mắn là: $n(A)=3000-150=2850$.
Vậy xác suất là: $P(A)=\frac{2850}{10^6}=\frac{285}{10^5}$.

Chọn A.
Bàn cờ vua gồm 9 đường ngang và 9 đường dọc.
Số hình chữ nhật tạo thành bằng cách chọn 2 đường ngang từ 9 đường và 2 đường dọc từ 9 đường:
$n(\Omega )=C_9^2\cdot C_9^2=36\cdot 36=1296$.
Gọi $A$ là biến cố hình chữ nhật được chọn là hình vuông có cạnh $k>4$.
Vì mỗi ô cạnh 1 đơn vị và bàn cờ kích thước $8\times 8$, độ dài cạnh hình vuông $k$ có thể nhận các giá trị $k\in \{5,6,7,8\}$:
- Số hình vuông cạnh 5 là: $(8-5+1{)}^2=4^2=16$.
- Số hình vuông cạnh 6 là: $(8-6+1{)}^2=3^2=9$.
- Số hình vuông cạnh 7 là: $(8-7+1{)}^2=2^2=4$.
- Số hình vuông cạnh 8 là: $(8-8+1{)}^2=1^2=1$.
Tổng số hình vuông có cạnh lớn hơn 4 là:
$n(A)=16+9+4+1=30$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{30}{1296}=\frac{5}{216}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=7\cdot A_7^3=1470$.

Gọi $A$ là biến cố số được chọn có đúng $2$ chữ số chẵn.

Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=C_4^2\cdot C_4^2\cdot 4!-C_4^2\cdot C_3^1\cdot 3!=756$.

Xác suất cần tìm là $\frac{756}{1470}=\frac{18}{35}$.

Chọn B.
Số phần tử của không gian mẫu (chia 16 học sinh thành 2 nhóm không phân biệt mỗi nhóm 8 học sinh) là:
$n(\Omega )=\frac{C_{16}^8}{2}=\frac{12870}{2}=6435$.
Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất.
Vì mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12A nên một nhóm có 1 học sinh lớp 12A và nhóm còn lại có 2 học sinh lớp 12A.
Vì mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12B và tổng số học sinh 12B là 5, nên một nhóm có 2 học sinh 12B và nhóm còn lại có 3 học sinh 12B.
Ta xét việc chọn thành phần cho nhóm có 1 học sinh lớp 12A (nhóm còn lại tự động được xác định):
- Trường hợp 1: Nhóm này có 1 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và $8-1-2=5$ học sinh lớp 12C.
Số cách chọn là: $C_3^1\cdot C_5^2\cdot C_8^5=3\cdot 10\cdot 56=1680$.
- Trường hợp 2: Nhóm này có 1 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và $8-1-3=4$ học sinh lớp 12C.
Số cách chọn là: $C_3^1\cdot C_5^3\cdot C_8^4=3\cdot 10\cdot 70=2100$.
Do nhóm có 1 học sinh 12A và nhóm có 2 học sinh 12A là phân biệt (khác số học sinh 12A), nên mỗi cách phân chia tương ứng duy nhất với một cách chọn trên.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$n(A)=1680+2100=3780$.
Xác suất của biến cố là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{3780}{6435}=\frac{84}{143}$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.
Trong các số từ 1 đến 15 có 8 số lẻ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) và 7 số chẵn (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).
Tổng 3 số rút được là số lẻ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Rút được 3 thẻ mang số lẻ. Số cách chọn là $C_8^3=56$.
- Trường hợp 2: Rút được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn. Số cách chọn là $C_8^1\cdot C_7^2=8\cdot 21=168$.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố là:
$n(A)=56+168=224.$
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{224}{455}=\frac{32}{65}.$

Không gian mẫu có $n(\Omega )=C_{16}^2\cdot C_{14}^2=10920$. Số cách xếp hai chữ cái $a$ không cùng hàng và không cùng cột là $\frac{16\cdot 9}{2}=72$; ứng với mỗi cách đó có $55$ cách xếp hai chữ cái $b$ không cùng hàng và không cùng cột với nhau trong $14$ ô còn lại. Xác suất cần tìm là $\frac{72\cdot 55}{10920}=\frac{33}{91}$.

Chọn C.
Số phần tử của tập $A$ là các số tự nhiên từ $1000000$ đến $9999999$: $n(A)=9\times 10^6$.
Số tự nhiên lẻ chia hết cho 9 là các số chia hết cho 18 cộng thêm 9, tức là các số có dạng $18k+9$.
Trong 18 số tự nhiên liên tiếp, luôn có đúng 1 số lẻ chia hết cho 9.
Vì tổng số phần tử $9\times 10^6$ chia hết cho 18 nên xác suất chọn được số lẻ chia hết cho 9 là:
$P=\frac{1}{18}.$

Chọn C.
Tổng số đội là $5+20=25$ đội.
Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega )=C_{25}^3=2300$.
Gọi biến cố $A$: "Có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn".
Các trường hợp thuận lợi:
- Trường hợp 1: Chọn 2 đội cơ sở và 1 đội dự phòng có $C_{20}^2\cdot C_5^1=190\times 5=950$ cách.
- Trường hợp 2: Chọn 3 đội cơ sở có $C_{20}^3=1140$ cách.
Suy ra $n(A)=950+1140=2090$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{2090}{2300}=\frac{209}{230}$.