Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

**Chọn C**

Có $99$ số nguyên dương bé hơn $100$ nên số cách chọn ngẫu nhiên $2$ số trong $99$ số đó là $C_{99}^2=4851$ cách.
Để chọn được hai số có hiệu là một số lẻ thì ta cần chọn $1$ số chẵn (trong $49$ số chẵn từ $2$ đến $98$) và $1$ số lẻ (trong $50$ số lẻ từ $1$ đến $99$), suy ra có $49\times 50=2450$ cách chọn.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{2450}{4851}=\frac{50}{99}$.

Số cách lấy ngẫu nhiên 2 quả: $n(\Omega )=C_{20}^2=190$. Trong 20 số, có 3 số chia hết cho 6; 7 số chẵn không chia hết cho 6; 3 số lẻ chia hết cho 3; 7 số không chia hết cho 2 và 3. Số cách chọn để tích chia hết cho 6 là $C_3^1\cdot C_{17}^1+C_3^2+7\cdot 3=51+3+21=75$. Xác suất là $P=\frac{75}{190}=\frac{15}{38}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn B.

Tổng số điểm là $6+5=11$ điểm. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$.
Để 3 điểm tạo thành một tam giác, 3 điểm không được thẳng hàng (không cùng nằm trên $a$ và không cùng nằm trên $b$).
Số cách chọn 3 điểm không tạo thành tam giác là $C_6^3+C_5^3=20+10=30$.
Số cách chọn 3 điểm tạo thành tam giác là $n(A)=165-30=135$.
Xác suất cần tìm: $P=\frac{135}{165}=\frac{9}{11}$. Chọn đáp án D.

Tổng số viên bi trong hộp là $7+8+6=21$ viên bi.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{21}^4=5985$.
Số cách chọn 4 viên bi có nhiều nhất 2 viên bi vàng:
- TH1: 0 bi vàng và 4 bi khác: $C_6^0\cdot C_{15}^4=1365$.
- TH2: 1 bi vàng và 3 bi khác: $C_6^1\cdot C_{15}^3=6\cdot 455=2730$.
- TH3: 2 bi vàng và 2 bi khác: $C_6^2\cdot C_{15}^2=15\cdot 105=1575$.
Tổng số biến cố thuận lợi: $n(A)=1365+2730+1575=5670$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{5670}{5985}=\frac{18}{19}$.

Tổng số bi trong hộp là $6+4+5=15$ viên bi. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^5=3003$. Gọi $A$ là biến cố: "5 viên bi có đủ ba màu và số bi đỏ lớn hơn số bi vàng". Các trường hợp có thể xảy ra thỏa mãn (Đỏ > Vàng $\ge 1$, Xanh $\ge 1$, tổng bằng 5):
- TH1: 2 đỏ, 1 vàng, 2 xanh: $C_4^2\cdot C_5^1\cdot C_6^2=6\cdot 5\cdot 15=450$ cách.
- TH2: 3 đỏ, 1 vàng, 1 xanh: $C_4^3\cdot C_5^1\cdot C_6^1=4\cdot 5\cdot 6=120$ cách.
Tổng số kết quả thuận lợi là $n(A)=450+120=570$. Xác suất là $P(A)=\frac{570}{3003}=\frac{190}{1001}$. Chọn A.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Gọi $A$ là biến cố chọn được $4$ gian hàng có đúng $3$ gian hàng kề nhau:
- TH1: $3$ gian hàng kề nhau ở đầu dãy hoặc cuối dãy: có $2\cdot 11=22$ cách.
- TH2: $3$ gian hàng kề nhau không nằm ở đầu hoặc cuối dãy: có $11\cdot 10=110$ cách.
Suy ra $n(A)=22+110=132$. Vậy $P(A)=\frac{132}{C_{15}^4}=\frac{44}{455}$.

Không gian mẫu $n(\Omega )=6\times 6=36$. Phương trình có nghiệm khi $\Delta =m^2-4n\ge 0\iff m^2\ge 4n$.
- $m=1:m^2=1\Rightarrow 0$ giá trị của $n$.
- $m=2:m^2=4\Rightarrow n=1$ (1 giá trị).
- $m=3:m^2=9\Rightarrow n\in \{1,2\}$ (2 giá trị).
- $m=4:m^2=16\Rightarrow n\in \{1,2,3,4\}$ (4 giá trị).
- $m=5:m^2=25\Rightarrow n\in \{1,2,3,4,5,6\}$ (6 giá trị).
- $m=6:m^2=36\Rightarrow n\in \{1,2,3,4,5,6\}$ (6 giá trị).
Tổng số kết quả thuận lợi là $1+2+4+6+6=19$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{19}{36}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.

Số phần tử thuộc tập $S$:
- Số các số có 3 chữ số khác nhau là $A_5^3=60$.
- Số các số có 4 chữ số khác nhau là $A_5^4=120$.
- Số các số có 5 chữ số khác nhau là $A_5^5=120$.
Suy ra $n(S)=60+120+120=300$.
Không gian mẫu chọn ngẫu nhiên 2 số từ $S$ là $n(\Omega )=C_{300}^2=44850$.
Gọi $X$ là biến cố "Hai số chọn được đều là số có ba chữ số".
Số phần tử của $X$ là $n(X)=C_{60}^2=1770$.
Xác suất cần tính là $P(X)=\frac{C_{60}^2}{C_{300}^2}=\frac{1770}{44850}=\frac{59}{1495}$.

Số cách chọn 3 đỉnh bất kì: $n(\Omega )=C_{12}^3=220$. Các tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 12 đỉnh tương ứng việc chia 12 đỉnh thành các bộ 3 đỉnh cách đều nhau $\frac{12}{3}=4$ bước. Có đúng 4 tam giác đều như vậy. Xác suất $P=\frac{4}{220}=\frac{1}{55}$. Chọn C.

Số cách chọn 3 quả cầu bất kì: $n(\Omega )=C_{11}^3=165$. Gọi $A$ là biến cố lấy được 3 quả cầu có đủ 2 màu: $n(A)=C_6^1{C}_5^2+C_6^2{C}_5^1=6\cdot 10+15\cdot 5=60+75=135$. Xác suất $P(A)=\frac{135}{165}=\frac{9}{11}$. Chọn D.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{12}^4=495$. Để chọn 4 lớp có đúng 3 lớp liên tiếp nhau: TH1: 3 lớp liên tiếp ở đầu {1, 2, 3} hoặc cuối {10, 11, 12} (2 cách). Lớp thứ 4 không liên tiếp với 3 lớp này (bỏ lớp liền kề), còn lại 8 lớp: $2\times 8=16$ cách. TH2: 3 lớp liên tiếp ở giữa {2, 3, 4} đến {9, 10, 11} (8 bộ). Lớp thứ 4 không liền trước và liền sau bộ 3 lớp đó, còn lại 7 lớp: $8\times 7=56$ cách. Tổng số cách thỏa mãn: $16+56=72$. Xác suất $P=\frac{72}{495}=\frac{8}{55}$. Chọn D.

Số cách xếp tùy ý 9 bạn thành hàng ngang là $n(\Omega )=9!$.

Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán:
- Xếp 6 bạn nam thành một hàng ngang sao cho Hoàng đứng ở một trong hai đầu ngoài cùng: có $2\cdot 5!$ cách.
- Khi đó tạo ra các vị trí xen kẽ giữa các bạn nam. Vì Hoàng đứng ngoài cùng nên vị trí ngay sát bên trong của Hoàng không thể bị kẹp giữa 2 bạn nam, nhưng ta cần xếp 3 bạn nữ vào các khoảng trống tạo bởi 6 bạn nam sao cho không có 2 bạn nữ nào cạnh nhau. Số vị trí trống khả dụng là 6 vị trí, xếp 3 bạn nữ vào có $A_6^3$ cách.

Vậy số kết quả thuận lợi là $2\cdot 5!\cdot A_6^3$.

Xác suất cần tìm là $P=\frac{2\cdot 5!\cdot A_6^3}{9!}=\frac{2\cdot 120\cdot 120}{362880}=\frac{5}{63}$.

**Chọn B**

+)Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = A73 .C43 = 840 .
+)A là biến cố “ ba quả màu đỏ cạnh nhau và ba quả màu xanh cạnh nhau”.
Xem ba quả cầu đỏ là nhóm X, ba quả màu xanh là nhóm Y.
Xếp X, Y vào 3 ô có A32 = 6 cách.
Hoán vị ba quả cầu đỏ có 3! = 6 cách.

n ( A ) = A32 .3! = 36 .
P( A) =

36
3
.
=
840 70

Ta có n ( ) = C184 = 3060 .
Gọi A là biến cố “Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả cầu để 4 quả cầu lấy được có đủ 3 màu khác
nhau”
Để chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả cầu để 4 quả cầu lấy được có đủ 3 màu khác nhau, ta có các
trường hợp sau:
2 quả cầu vàng, 1 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh;
1 quả cầu vàng, 2 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh;
1 quả cầu vàng, 1 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh.
n ( A) 1575 35
Vậy n ( A ) = C52C71C61 + C51C72C61 + C51C71C62 = 1575 $\Rightarrow$ P ( A) = = = .
n ( ) 3060 68
1 1

Chia đều $16$ đội vào $4$ bảng (mỗi bảng $4$ đội) có $n(\Omega )=C_{16}^4\cdot C_{12}^4\cdot C_8^4\cdot C_4^4$ cách.

Gọi $A$ là biến cố: “$3$ lớp $12A_1,12A_2$ và $12A_3$ nằm ở $3$ bảng khác nhau”.
- Sắp xếp $3$ lớp $12A_1,12A_2,12A_3$ vào $3$ bảng khác nhau trong $4$ bảng có $A_4^3$ cách.
- Sắp xếp $13$ đội còn lại vào các bảng để mỗi bảng đủ $4$ đội có $C_{13}^4\cdot C_9^3\cdot C_6^3\cdot C_3^3$ cách.

Suy ra $n(A)=A_4^3\cdot C_{13}^4\cdot C_9^3\cdot C_6^3\cdot C_3^3$. Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{16}{35}$.

Số cách chọn ngẫu nhiên 2 quả từ 13 quả là $n(\Omega )=C_{13}^2=78$. Số cách chọn 2 quả khác màu là $7\times 6=42$. Trong đó có 6 cặp quả cùng số: $(1_V,1_{Đ}),(2_V,2_{Đ}),\dots ,(6_V,6_{Đ})$. Do đó số cách chọn 2 quả khác màu và khác số là $42-6=36$. Xác suất cần tìm là $P=\frac{36}{78}=\frac{6}{13}$. Chọn D.

Ta có: $n(\Omega )=A_9^2=72$.

Gọi $A$ là biến cố: “Tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn” $\Rightarrow \bar{A}$: “Tích hai số ghi trên hai thẻ là số lẻ”.

Ta có: $n(\bar{A})=A_5^2=20$. Suy ra $P(\bar{A})=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}$.

Vậy $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$.

Tổng số bi trong hộp là $4+5+7=16$ viên.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{16}^6=8008$.
Gọi $A$ là biến cố: "6 viên bi lấy ra có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng".
Vì có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng nên ta có hai trường hợp:
- TH1: 1 bi đỏ, 1 bi vàng, 4 bi trắng: số cách chọn là $C_4^1\cdot C_7^1\cdot C_5^4=4\cdot 7\cdot 5=140$.
- TH2: 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi trắng: số cách chọn là $C_4^2\cdot C_7^2\cdot C_5^2=6\cdot 21\cdot 10=1260$.
Do đó $n(A)=140+1260=1400$.
Xác suất cần tìm: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1400}{8008}=\frac{25}{143}$.

- a) Mỗi đỉnh trong 9 đỉnh của đa giác đều có thể làm đỉnh cân của 3 tam giác cân không đều, nên có $9\cdot 3=27$ tam giác cân nhưng không đều. Tổng số tam giác là $C_9^3=84$. Xác suất là $P=\frac{27}{84}=\frac{9}{28}\ne \frac{3}{7}$. Mệnh đề Sai.
- b) 9 đỉnh chia thành 3 bộ 3 đỉnh cách đều nhau bước 3, tạo ra đúng 3 tam giác đều. Mệnh đề Đúng.
- c) Tổng các số từ 1 đến 9 là 45 nên tổng mỗi tam giác đều là 15. Có đúng 2 cách phân hoạch thành 3 bộ có tổng 15: $\{(1,5,9),(3,4,8),(2,6,7)\}$ và $\{(3,5,7),(2,4,9),(1,6,8)\}$. Mỗi cách có $3!\cdot (3!{)}^3=1296$ cách xếp. Tổng số cách thuận lợi là $2592$. Xác suất $P(A)=\frac{2592}{9!}=\frac{1}{140}\ne \frac{1}{280}$. Mệnh đề Sai.
- d) Số tam giác có ba đỉnh thuộc 9 đỉnh của đa giác đều là $C_9^3=84$. Mệnh đề Đúng.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).