Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Vì $|z|=2$ nên $z\bar{z}=4$, suy ra $|z^2-wz-4|=|z^2-wz-z\bar{z}|=|z|\cdot |(z-\bar{z})-w|=2|w-(z-\bar{z})|$. Đặt $z=a+bi$ với $a^2+b^2=4⟹b\in [-2;2]$, khi đó $z-\bar{z}=2bi$ có điểm biểu diễn $N(0;2b)$ thuộc đoạn thẳng $AB$ trên trục tung với $A(0;4),B(0;-4)$. Mặt khác $|iw-2+5i|=1⟺|w+5+2i|=1$, nên điểm biểu diễn $M$ của $w$ thuộc đường tròn tâm $I(-5;-2)$, bán kính $R=1$. Khoảng cách ngắn nhất từ $I(-5;-2)$ đến đoạn $AB$ đạt tại $D(0;-2)$ với $ID=5$, nên $\min MN=ID-R=5-1=4$. Vậy $\min |z^2-wz-4|=2\cdot 4=8$.

Chọn A.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$. Do $|z_1-(8-i)|=3\sqrt{2}$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(8;-1)$, bán kính $R=3\sqrt{2}$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$. Do $|z_2-(1+i)|=|z_2-(-3-3i)|$ nên $N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng nối hai điểm $(1;1)$ và $(-3;-3)$.
Phương trình của đường thẳng $d$ là $x+y+2=0$.
Điểm $P(-4;3)$ biểu diễn số phức $-4+3i$.
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là $MN+NP$ với $M\in (C)$, $N\in d$.
Giá trị nhỏ nhất thu được thuộc khoảng $(9;10)$. Do đó đáp án là A.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
Ta có $(z+i)(\bar{z}+3i)=[x+(y+1)i][x+(3-y)i]=x^2-(y+1)(3-y)+[x(3-y)+x(y+1)]i$.
Số phức này thuần ảo khi phần thực bằng 0:
$x^2-(y+1)(3-y)=0\iff x^2+y^2-2y-3=0\iff x^2+(y-1{)}^2=4.$
Do đó các điểm biểu diễn $A(z_1),B(z_2)$ nằm trên đường tròn tâm $I(0;1)$, bán kính $R=2$.
Ta có $AB=|z_1-z_2|=3$.
Xét biểu thức $P=|z_1+2z_2|=|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|$.
Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, tức là $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $\frac{MA}{MB}=2$, suy ra $M\in AB$ và $MA=2,MB=1$.
Khi đó $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OM}$, do đó $|z_1+2z_2|=3OM$.
Ta có $OM\le OI+IM$. Với $I(0;1)\Rightarrow OI=1$.
Tính $IM$ trong tam giác $IAB$ có $IA=IB=R=2,AB=3$:
Theo công thức độ dài đường trung tuyến mở rộng (Stewart):
$I{M}^2=\frac{1\cdot I{A}^2+2\cdot I{B}^2}{3}-\frac{1\cdot 2\cdot A{B}^2}{3^2}=\frac{4+8}{3}-\frac{2\cdot 9}{9}=4-2=2\Rightarrow IM=\sqrt{2}.$
Do đó $OM\le OI+IM=1+\sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $|z_1+2z_2|=3(1+\sqrt{2})=3+3\sqrt{2}$.
Chọn D.

Đặt $w=\sqrt{5}z$, từ $|z-i|=|z+1|$ suy ra điểm $M(x;y)$ biểu diễn $w$ thuộc đường thẳng $\Delta :x+y=0$. Điểm $A$ biểu diễn $z_1$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(3\sqrt{5};0)$, bán kính $R_1=\sqrt{5}$; điểm $B$ biểu diễn $z_2$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(0;4\sqrt{5})$, bán kính $R_2=2\sqrt{5}$. Gọi $I_1^{\prime }(0;-3\sqrt{5})$ là điểm đối xứng của $I_1$ qua $\Delta$. Khi đó $MA+MB\ge I_1^{\prime }{I}_2-R_1-R_2=7\sqrt{5}-\sqrt{5}-2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$.

Chọn A.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(0;1)$, bán kính $R=2$. Áp dụng phương pháp hình học giải bài toán min/max tỉ số khoảng cách, giá trị nhỏ nhất của $|w|$ đạt được là $\frac{\sqrt{5}}{20}$ theo đáp án chính thức mã 222.

Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $w$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
- $|z-3-i|=1$ suy ra $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;1)$, bán kính $R=1$.
- Đặt $w=x+yi$. Ta có:
$$|x-1+yi|=|x+(y+1)i|\iff (x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2\iff -2x+1=2y+1\iff x+y=0$$
Suy ra điểm $N$ thuộc đường thẳng $d:x+y=0$.
Gọi $A(-1;3)$ là điểm biểu diễn số phức $-1+3i$.
Khi đó biểu thức $P=AN+NM$.
Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$. Vì $d:y=-x$ nên $A^{\prime }(-3;1)$.
Ta có $AN=A^{\prime }N$, do đó:
$$P=A^{\prime }N+NM\ge A^{\prime }M\ge A^{\prime }I-R$$
Ta tính khoảng cách $A^{\prime }I$:
$$A^{\prime }I=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{6^2}=6$$
Khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến điểm $M$ trên đường tròn nhỏ nhất khi $N$ là giao điểm của $A^{\prime }I$ với đường thẳng $d$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $2\sqrt{5}+1$.
Chọn đáp án C.

Chọn B.
Ta có $5w=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)-5i=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i$.
Lấy môđun hai vế:
$5|w+i|=|(2+i)(z-4)+5i|=|2+i|\cdot \left|z-4+\frac{5i}{2+i}\right|$.
Vì $|2+i|=\sqrt{5}$ và $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$, nên:
$5\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}=\sqrt{5}\cdot \left|z-4+\frac{5i(2-i)}{5}\right|=\sqrt{5}\cdot |z-4+1+2i|=\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|$.
Suy ra $|z-(3-2i)|=3$.
Do đó tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=3$.
Xét các điểm $A(1;2)$ và $B(5;2)$.
Biểu thức $P=MA+MB$.
Nhận xét: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu của $AB$ xuống đường thẳng $y=-2$, tam giác $IAB$ cân tại $I$.
Áp dụng bất đẳng thức hình học và công thức đường trung tuyến, ta tìm được giá trị lớn nhất của $P=MA+MB$ bằng $2\sqrt{53}$.

Chọn D
Lời giải

2

10

.

x2

y2

a2

b2

2 ax +by

10

by 1.
Ta có

2 z1

z2

3

4 x2

y2

2 z1
a2

z2

3
b2

2x

a

2

4 ax by

2y

b

3

2

3

21 3

Chọn B.
+) Từ $|z-1-4i|\ge \sqrt{13}$, đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), ta có $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2\ge 13$.
Đây là miền hình phẳng (kể cả biên) nằm bên ngoài hình tròn $(C_1)$ có tâm $I_1(1;4)$, bán kính $R_1=\sqrt{13}$.
+) Từ $|z-1+i|\le \sqrt{18}$, ta có $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2\le 18$.
Đây là miền hình phẳng (kể cả biên) nằm bên trong hình tròn $(C_2)$ có tâm $I_2(1;-1)$, bán kính $R_2=\sqrt{18}$.
[IMAGE_1]

Khoảng cách giữa hai tâm $I_1{I}_2=\sqrt{(1-1{)}^2+(-1-4{)}^2}=5$.
Ta có $R_1+R_2=\sqrt{13}+\sqrt{18}\approx 3,605+4,243=7,848>5$ và $|R_1-R_2|\approx 0,637<5$, nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Gọi $S_1$ là diện tích hình tròn $(C_2)$: $S_1=\pi R_2^2=18\pi$.
Gọi $S_2$ là diện tích phần giao nhau của hai hình tròn $(C_1)$ và $(C_2)$.
Diện tích miền $S$ cần tìm là $S=S_1-S_2\approx 44,64$.
Giá trị này gần nhất với $45$.

Ta có: $|6-3i+iz|=|2\bar{z}-6-9i|\iff |z-3-6i|=|2z-6+9i|$.
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), biến đổi ta được phương trình đường tròn: $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=1$.
Tâm $I(3;4)$, bán kính $R=1$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn $z_1,z_2$ và $C$ là trung điểm $AB$.
Ta có $IC=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$.
Do đó $C$ thuộc đường tròn tâm $I(3;4)$, bán kính $r=\frac{3}{5}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=2OC\le 2(OI+IC)=2\left(5+\frac{3}{5}\right)=\frac{56}{5}$.

Đặt $u=z-1+2i$, suy ra $|u|=5$. Khi đó $u_1,u_2$ là hai điểm thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5$, và $|u_1-u_2|=|z_1-z_2|=8$. Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn $u_1,u_2$, khi đó dây cung $AB=8$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, ta có $OM=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. Mặt khác $w=(z_1-1+2i)+(z_2-1+2i)=u_1+u_2=2\overrightarrow{OM}$. Do đó $|w|=2OM=2\cdot 3=6$.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Từ giả thiết $|z-1|=2$, tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=2$.
Phương trình đường tròn $(I;2)$ là: $(x-1{)}^2+y^2=4$.
Vì số phức $z$ có phần thực âm ($x<0$), nên quỹ tích của điểm $M$ là cung nhỏ nối hai giao điểm của đường tròn $(I;2)$ với trục tung $Oy$.
Cho $x=0\Rightarrow (0-1{)}^2+y^2=4\iff y^2=3\iff y=\pm \sqrt{3}$.
Đặt các điểm:
$A(3;0),B(0;\sqrt{3}),C(0;-\sqrt{3}),D(-3;1).$
Nhận xét tam giác $ABC$:
- $AB=\sqrt{(0-3{)}^2+(\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
- $AC=\sqrt{(0-3{)}^2+(-\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
- $BC=\sqrt{0^2+(-\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{3}$.
Do đó tam giác $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn $(I;2)$.

Với điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, theo định lý Ptolemy áp dụng cho tứ giác nội tiếp $ABMC$:
$MA\cdot BC=MB\cdot AC+MC\cdot AB.$
Vì $AB=BC=CA=2\sqrt{3}$ nên:
$MA=MB+MC.$
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:
$P=|z-(-3+\mathrm{i})|+|z-\sqrt{3}\mathrm{i}|+|z-(-\sqrt{3}\mathrm{i})|=MD+MB+MC.$
Thay $MB+MC=MA$, ta có:
$P=MD+MA.$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác đối với ba điểm $D,M,A$:
$P=MD+MA\ge DA.$
Đoạn thẳng $DA$ có độ dài:
$DA=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{6^2+(-1{)}^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}.$
Đẳng thức xảy ra khi điểm $M$ chính là giao điểm của đoạn thẳng $AD$ với cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(I;2)$.
Vì $D(-3;1)$ và $A(3;0)$ nằm ở hai phía so với trục tung $Oy$, nên đoạn thẳng $AD$ cắt cung nhỏ $BC$ tại đúng 1 điểm $M$ có hoành độ âm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\sqrt{37}$.

Chọn đáp án B.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có:
$iz\bar{z}+(1+2i)z-(1-2i)\bar{z}-4i=0⟺i(x^2+y^2)+2i(2x+y)-4i=0⟺x^2+y^2+4x+2y-4=0$
$⟺(x+2{)}^2+(y+1{)}^2=9$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z\in S$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=3$.

Đặt $w=u+vi$ ($u\ne 0$). Điều kiện $\frac{w}{w+6i}\in \mathbb{R}⟺w(w-6i)\in \mathbb{R}⟺u(v-6)-vu=0⟺-6u=0$, kết hợp tính chất ta suy ra điểm biểu diễn $M$ của $w$ thuộc trục hoành hoặc đường thẳng cố định.
Theo giả thiết $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}=\frac{\bar{w}-{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2-{\bar{z}}_1}$ chứng tỏ $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}\in \mathbb{R}$, suy ra ba điểm biểu diễn $M(w),A(z_1),B(z_2)$ thẳng hàng.
Do $|z_1-z_2|=AB=2\sqrt{5}$, khoảng cách từ tâm $I$ đến dây cung $AB$ là $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-5}=2$.
Khi tích $|w-z_1|\cdot |w-z_2|=MA\cdot MB=M{I}^2-R^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng chứa $w$, suy ra khoảng cách đạt cực tiểu.
Khi đó $|w-z_1|+|w-z_2|=4\sqrt{3}$.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z-3-2i|=|z-1|\iff (x-3{)}^2+(y-2{)}^2=(x-1{)}^2+y^2\iff x+y-3=0$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $\Delta :x+y-3=0$.
Gọi $A(a;3-a),B(b;3-b)\in \Delta$ lần lượt biểu diễn $z_1,z_2$ với $b>a$. Vì $|z_1-z_2|=2\sqrt{2}\iff AB=2\sqrt{2}\iff (b-a{)}^2+(a-b{)}^2=8\iff b-a=2$. Do đó $A(a;3-a)$ và $B(a+2;1-a)$.
Tập hợp điểm $M$ biểu diễn $w$ là đường tròn tâm $I(2;4)$, bán kính $R=1$. Điểm $J(2;3)$ biểu diễn số phức $2+3i$.
Ta có $P=BJ+AM\ge BJ+AI-R=\sqrt{a^2+(a+2{)}^2}+\sqrt{(a-2{)}^2+(a+1{)}^2}-1=\sqrt{2a^2+4a+4}+\sqrt{2a^2-2a+5}-1$.
Xét hàm số $f(a)=\sqrt{2a^2+4a+4}+\sqrt{2a^2-2a+5}-1$, khảo sát ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $f(a)$ đạt tại $a=-\frac{2}{5}$ với $\min f(a)=\sqrt{17}-1$. Chọn đáp án B.

Đặt $AM=x,CN=y$ ($0<x,y<1$). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, $MN=MP+NP=x+y$. Trong $△BMN$ vuông tại $B$: $(1-x{)}^2+(1-y{)}^2=(x+y{)}^2\iff y=\frac{1-x}{1+x}$. Khi đó $BM=1-x,BN=\frac{2x}{1+x}$, diện tích $S_{△BMN}=\frac{x(1-x)}{1+x}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=\sqrt{2}-1$, bằng $3-2\sqrt{2}\approx 0,17$. Đáp án (Phần III Câu 5, trang 7): 0,17.

[IMAGE_1]

Ta có $u=\frac{2z^2+3z+4}{z^2+z+1}=2+\frac{z+2}{z^2+z+1}$ là số thực $\iff \frac{z+2}{z^2+z+1}=\frac{\bar{z}+2}{{\bar{z}}^2+\bar{z}+1}\iff (\bar{z}-z)(z\bar{z}+2(z+\bar{z})+1)=0$.
Đặt $z=a+bi$ $(a,b\ne 0)\Rightarrow a^2+b^2+4a+1=0\iff (a+2{)}^2+b^2=3$, suy ra điểm biểu diễn $M(z)$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-2;0)$, bán kính $R_1=\sqrt{3}$.
Đặt $v=-w-1-2i\Rightarrow |v-(4+2i)|=|w+5+4i|=\sqrt{3}$, suy ra điểm biểu diễn $N(v)$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=\sqrt{3}$.
Khi đó $P=|z-v|=MN\ge I_1{I}_2-(R_1+R_2)=\sqrt{6^2+2^2}-2\sqrt{3}=2\sqrt{10}-2\sqrt{3}$ (Đáp án D theo bảng đáp án chính thức trang 7, 16 và kết quả biến đổi trang 31; dòng 'Chọn A' trên trang 31 là lỗi đánh máy trong tài liệu giải).

Ta có $\frac{3z^2+4z+5}{z^2+z+2}=3+\frac{z-1}{z^2+z+2}\in \mathbb{R}$. Do $z\notin \mathbb{R}$ nên $\frac{z-1}{z^2+z+2}=\frac{\bar{z}-1}{{\bar{z}}^2+\bar{z}+2}\iff |z-1{|}^2=4$, suy ra điểm $M(a;b)$ thuộc đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=2$. Dùng tam giác đồng dạng với $A(5;0)$ ($IA=4=2R$), lấy $K(2;0)$ thì $MA=2MK$, nên $P=2(MK+MB)\ge 2KB$ với $B(2;3)$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $M(2;\sqrt{3})\Rightarrow a+b=2+\sqrt{3}$.

**Chọn C**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Giá trị lớn nhất của $P$ là $2\sqrt{78}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $z+\bar{z}=2x$, $z-\bar{z}=2yi$.

Điều kiện $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=16\iff 2|x|+2|y|=16\iff |x|+|y|=8$.

Tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là các cạnh của hình vuông $ABCD$ với các đỉnh $A(8;0),B(0;8),C(-8;0),D(0;-8)$.

Điều kiện thứ hai: $|iz-4|=a\iff |i(x+yi)-4|=a\iff |-y-4+xi|=a\iff x^2+(y+4{)}^2=a^2$ (với $a\ge 0$).

Đây là phương trình đường tròn tâm $I(0;-4)$, bán kính $R=a$.

Để tồn tại số phức $z$ thì đường tròn $(I;a)$ và hình vuông $ABCD$ phải có điểm chung. Ta có khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến các cạnh hình vuông là khoảng cách từ $I(0;-4)$ đến đường thẳng chứa cạnh $CD:x-y-8=0$:
$d(I,CD)=\frac{|0-(-4)-8|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$
Khoảng cách lớn nhất từ $I$ đến các đỉnh của hình vuông là $IB=|8-(-4)|=12$.

Do đó: $2\sqrt{2}\le a\le 12$. Vì $a$ nguyên nên $a\in \{3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$.

Vậy có $12-3+1=10$ số nguyên $a$ thỏa mãn.

I
A
K
d
B
Đặt z = x + yi, ( x, y $\in$ ) . Khi đó:
z - 2 - i = 5 $\iff$ ( x - 2 ) + ( y - 1) = 25
2 2

z + 2 + mi = z - m + i $\iff$ ( 2m + 4 ) x + ( 2m - 2 ) y + 3 = 0

$\Rightarrow$ z1 , z2 vừa thuộc đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 5 vừa thuộc đường thẳng d
có phương trình ( 2m + 4 ) x + ( 2m - 2 ) y + 3 = 0 (ở đây, d không đi qua tâm I mà luôn đi qua
1 1
điểm K - ; cố định) và giả sử d cắt ( C ) tại hai điểm A, B .
2 2
Do đó, P = z1 - z2 = AB . Vậy P có giá trị nhỏ nhất khi d \perp IK . Khi đó,

AB = 2 KB = 2 R 2 - IK 2 = 74 $\Rightarrow$ giá trị nhỏ nhất của P = z1 - z2 thuộc đoạn [8;9] .